多維標度法

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多維標度法(multidimensional scaling，MDS)

　　多維標度法是一種將多維空間的研究對象(樣本或變數)簡化到低維空間進行定位、分析和歸類，同時又保留對象間原始關係的數據分析方法。

　　在市場營銷調研中，多維標度法的用途十分廣泛。被用於確定空間的級數(變數、指標)，以反映消費者對不同品牌的認知，並且在由這些維構築的空間中，標明某關註品牌和消費者心目中理想品牌的位置。

　　多維標度法是一類多元統計分析方法的總稱，包含各種各樣的模型和手段，其目的是通過各種途徑把高維的研究對象轉化成低維情形進行研究，具體地說,多維標度法是以多紹研究對象之間某種親近關係為依據(如距離、相似繫數，親疏程度的分類情況等)，合理地將研究對象(樣品或變數)在低維空間中給出標度或位置，以便全面而又直觀地再現原始各研究對象之間的關係，同時在此基礎上也可按對象點之間距離的遠近實現對樣品的分類，多維標度法能彌補聚類分析的不足之處，因為聚類分析將相似的樣品歸類，最後得到一個反映樣品親疏關係的譜系圖。聚類分析比較簡便易行，但是，聚類分析的缺點是將一些高維的樣品強行納入一個一維的譜系分類中，常常使原始樣品之間的關係簡單化，甚至有時失真。而多維標度法是將幾個高維研究對象，在近似的意義下，從高維約簡到一個較低維的空間內，並且尋求一個最佳的空間維數和空間位置如2維或3維)而仍保持各研究對象數據的原始關係。

　　多維標度法的產生與發展，和它在心理學各個分支中的應用是分不開的，40年代是它的萌芽和準備時期，50年代是計量的多維標度法的發展時期，1952年Torgerson首先給出J計量的多維標度法的數學模型，為以後的發展奠定了基礎，60年代是非計量的多維標度法的發展時期，70年代以後上面提出的各種方法趨於成熟，出現了許多近似計演算法，並且提出了許多新的方法和模型，從應用角度來說，在50年代多維標度法僅應用於心理學，60年代又應用於銷售和消費領域中，從70年代以來，多維標度法的應用範圍迅速擴大，已應用於交通、社會學、生態學及地質學等領域。

　　多維標度法的基本思想是：用r維空間(r待定)中的點分別表示各樣品，使得各樣品間距離的次序能完全反映原始輸入的相似次序(兩樣品間的距離越短，則越相似)。通常，要通過兩步來完成。首先構造一個f維坐標空間，並用該空間中的點分別表示各樣品，此時點間的距離未必和原始輸入次序相同，通常把這一步稱為構造初步圖形結構。其次是逐步修改初步圖形結構，以得到一個新圖形結構，使得在新結構中，各樣品的點間距離次序和原始輸入次序儘量一致。

　　多維標度法的特點是將消費者對品牌的感覺或偏好以點的形式反映在多維空間上，而對不同品牌的感覺或偏好的差異程度是通過點與點問的距離體現的，我們稱這種品牌或項目的空間定位點因為空間團。空間的軸代表形成感覺或偏好的各種因素或變數。

　　多維標度法按數據的尺度水平不同，可分為計量的和非計量的兩種；所謂計量數據，就是按間隔尺度或比例尺度測定的數據，也叫做定量數據；所謂非計量數據，就是按名義尺度或順序尺度確定的數據，也叫做定性數據；因此多維標度法也分為計量的多維標度法和非計量的多維標度法。

　　多維標度過程分為非度量型多維標度過接和度量型多維標度過程。非度量多維標度過程輸入的數據是頗療：型的，度量型多維標度過程輸入的數據是定距以上型的，但兩：者輸出的結果都是區間以上型的。影響多維標度過程選擇的另一因素，涉及分析過程是在單一個體水平進行還是在集合水平進行。空間圖的解釋能力、轉折標準、統計方法及相關的知識常可幫助我們確定空間的維數。擬合度和緊縮值均可用來度量空間團對數據的擬合程度。

　　同具它的多元統計分析方法一樣，對所研究的問題做出準確的界定、仍然是我們進行多維標度分析的首要好處，由於其中將應用各種類型的數據，我們就必須決定一種獲得救據的適宜方式。並選擇用於數據分析的具體過程。另外，還要確定空間的維數。通常，維數多，包含的信息量就大，而維數少，更為方便數據分析。因此，需要確定既能包含大部分重要信息，又方便數據分析的較為適當的維敗。在確定了空間的維數以後，需要準確命名那些構築空間的坐標軸，並對整個空間結構做出解釋，最後一步的工作是砰估所用方法的可靠性和有效性。

　　一、界定問題

　　課題的界定與通過多維標度法希望達到的日的和選定的品牌密切相關。為此。必須首先天以明確。圍繞需要解決的問題，我們才能分析與之相關的因素指標(或變數)，如果是研究消費者對某產品各個知名品牌的感覺或伯好，就要選擇能夠描述這一特征的一系列變數指標。另外，在一個構築好的多維空間中，一般需要同時研究至少8個品牌，這樣才能得到一個較好的空間圖。但是，一旦超過25個品牌，就會導致調查對象的疲倦，從而影陶調研結果。品牌及相關指標或變數的選擇，往往基於調研問題、相關理論，以及研究人員的判斷力等。

　　二、獲取數據

　　從調查對象那裡得到的數據可能與感覺或偏好相關，感覺數據有直接數據和推斷數據之分，直接數據源於相似性判斷，而推斷數據則源於對相關屬性的評估。

　　在收集直接的感覺數據時，要求調查對象判別不同品牌相似與否。我們可採用李塞圖七點標尺或其它度量進行配對品牌評估，這些數據被稱為相似性判別數據。

　　也可以採用其它方法，比如要求調查對象將所有的品牌配對按相似性強弱由大到小排序。再比如，要求調查對象對所有品牌與固定對照品牌(基礎品牌)進行相似性排序，每個品牌可輪流做為基礎品牌。

　　收集的就是一些直接的感覺數據；收集推斷數據則源於調查對象對相關屑性的評估，我們應用語義差異標尺或李亮圖七點標尺度量屬性後對品烽進行評估。

　　由於消費者對心目中理想品牌的感覺往往涉及一系列品牌屬性或變數。因此，調查對象需要對這些屬性做出評估。如果我們能夠獲得屬性評估值，就可依據親疏性度量值(如歐氏距離)對每對品牌的近似程度做出推斷。

　　比較這兩種數據收集方法，第一種方法的優點是調研人員不必確定一系列屬性，調查對象用他們自己的標淮做品牌或項目的相似性判斷，故結果較為真實和客觀。其缺點是評估過程有時會導致調查對象下意識地忽視某種指標對品牌評估的影響，比如，被評估的若幹汽車品牌都在同一價格水平上，則價格就不會成為一種重要的因素；這種方法的另一局限性還表現在很難命名空間固上的坐標鈾(維)。第二種方法是以品牌屬性為基礎的推斷性方法，這種方法具備兩個優點。其一，由於我們是依據態度或其它相關指標的評估值將調查對象分類，所以較容易區分有相同感覺的調查對象3其二，我們能夠較方便地命名坐標軸。其缺點是調研人員必須找出所有的屬性，這是一項很複雜、很艱難的工作。而空間圖恰恰就是依靠這些不同的屑性構築的。在市場調研中，第一種方法通常比第二種方法更常用，我們建議讀者在實踐中交互使用這兩種方法。比如，可以首先採用較直接的相似性判斷獲得空間圖，然後進行屬性評估，以幫助我們解釋感覺圖中的坐標軸。同樣圖，然後進行屬性評估，以幫助我們解釋感覺圖中的坐標軸。同樣的過程也可以用於伯好數據的分析。

　　三、選擇多維標度過程

　　在具體選擇多維標度過程時，要考察感覺或伯好信息的性質，而且輸人數據的性質是一個決定性因素。多維標度過程分為非度量型多維標度過程和度量型多維標度過程。非度量多維標度過程輸入的數據最順序型的，但是，其輸出的結果卻是區聞以上型的。

　　與之相對照，度量型多維標度過程輸入的數據是定距以上型的，且輸出的數據也是定距以上型的，因此，它的輸入和輸出數據間相關性較強。經驗證明，這兩種方法的結果基本相似：

　　影響多維標度過程選擇的另一因素，涉及分折過程是在單一個體水平進行還是在集合水平進行。在單一個。體水平進行分歷時，需要對每個調查對象分別做數據分析、結果造成每個調研Xif象都擁有各自的空間團。從長遠的角度看，這種：方法還是有用的。然而，營銷策略的制定需要對細分市場或集合進行分析。在集合水平進行分析時，需要假設每個個體用相同的交間軸(指標)評價品牌，當然，權重可以不同。

　　四、確定維數

　　多維標度法的目的，是以空間圖的方式用最少的維數去最掛地擬合輸出數據。這裡，擬合度被定義為相關係數的平方。然兩，空間圖的擬合度隨著維數的增加而提高。因此，必須找出拆中的辦法。一個多維標度的擬合度通常用緊縮值衡量，緊縮值是。—種擬合劣質度量。緊縮值高，說明擬合性差。

　　以下是常用維數確定方法：

　　(1)前期知識，調研理論或以往的調研經驗和結論將有助於確定維數；

　　(2)空間圖的解釋能力，一般來說，要想解釋三維以上的空間圖是很困難的；

　　(3)轉拆標準，考察緊縮值對維數曲折線圖，如下圖所示，當合適的維數出現時、往往伴隨有一個轉折或很急的轉彎，而超過這點時，增加維數通常不會提高擬合度。觀察緊縮值圖發現，在三維處出現折點，形成了凹狀圖案，故應選擇的維數是3。

　　在選擇維數時還應考慮易操作性。一般來說，二維平面圖較之多維空間圖簡單得多。最後，那些擅長統計學方法的專業人員、也可採用統計方法確定維數。

　　五、命名坐標軸並解釋空間圖

　　對坐標軸的命名主要依賴調研人員的經驗和主觀判斷，下麵的方法將有助於您的工作。

　　*儘管得到了直接的相似性判斷值，如果可能，還應對提供的品牌屑性進行評估。應用統計中的回歸方法，這些屑性向量可被嵌入空間圖中(如下圖所示)，然後，我們可以綜合考察那些最接近坐標軸的屬性，以實現對坐標軸的命名或標註。

　　*在獲得了直接相似性或編好數據後，我們還可以進一步詢問調查對象在進行相似性評估時依賴的主觀評估標推，這些標淮也應在命名坐標袖時予以參考。

　　*如果可能，可以向調查對象展示空間圖，然後，請他們來命名空間圖上的坐標鈾。最後，如果我們瞭解品牌的自然屬性，如充電電池充電後的最長使用時間答，這也可作為解冪空間圖坐標軸

　　六、評估有效性和可靠性

　　同其它多元分析方法一樣，對採用多維標度法獲得的結果也要進行可靠性和有效性評估。一般採用以下方法進行評估。

　　首先，可計算擬合優度R²，即相關係數的平方。R²值越大，說明多維標度過程對數據的擬合程度越好。一般地，當R²大於或等於0．6時，被認為是可接受的。

　　另外，緊縮值也能反映多維標度法的擬合優度。R²是擬合良好程度的度量，而緊縮值是擬合劣質程度的度量，兩個度量的角度完全相反，但目的相同。緊縮值隨多維標度過程以及被分析資料的不同而變化。

　　如果在集合水平上進行分析，原始數據應分成兩組或兩組以上。我們對每一組分別應用多維標度法，然後，對各組結果進行比較。

　　看到品牌J與其他品牌有較大差距。為此，我們剔除品牌J，對其餘的品牌重新進行多維標度分轎，觀察分析結果與原結果是否呈現明顯的差異。下圖是剔除品牌J後的空間圖。我們為現有些品牌的位置發生了變化，特別是品脾E和A。然而，總的變動並不大，說明本例應用的多維標度過程還是比較穩定的。