遍歷理論

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遍歷理論(Ergodic Theory)

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什麼是遍歷理論

  在統計學中,遍歷理論是指在統計力學發展的中期,馮·諾伊曼(Von Neumann)和伯克霍夫(Birkhoff)給出了識別具有時間平均的空間平均問題的解答。可以表述如下:如果x1-\infty<t<\infty)表示一個保守的動態系統軌道,在時間t = 0時,通過點r = r0,在此系統的相空間Ω定義的適當函數:

  \lim_{T \to \infty}(1/T)\int_{0}^{T} f(x_t)dt=\int_{\Omega} fdm/m(\Omega)

遍歷理論的研究

  \lim_{T \to \infty}(1/T)\int_{0}^{T} f(x_t)dt=\int_{\Omega} fdm/m(\Omega)方程式的左邊是一個沿著軌道對於函數(可觀察的)f的時間平均,而右邊是相或空間平均。

  馮·諾伊曼證明瞭該式的一個平均收斂形式,以後不久,G·D·伯克霍夫證明瞭該式,正如他所說的,對於幾乎所有的狀態,包括這裡的兩種情況,都是在假設系統(限於Ω)為遍歷的情況下得到的。遍歷是一種概念,我們現在來解釋它(馮·諾伊曼,1932年;伯克霍夫,1931年)。人們很快就認識到,(遍歷定理)的兩種形式可以在更加抽象的背景下描述和證明。誠然,人們可以說,這種抽象和由此而產生的數學式子就是遍歷理論本身。

  令(Ω,m)代表一個有限維的抽象空間,(假設m(Ω) = 1也不失一般性,正如我們將要做的。)設Tt為一個變換族,下標是時間(在各種情況下,它是一個實數、整數)。假設這一族變換是保測變換(mTtB = mB,對於所有的“可測”集均成立)。那麼,當才在它的指標集中變化時對Tt的研究,就提供了一個漸近系統模型,這樣的漸近系統如同前面描述的相空間中的動態學系統一樣,在其中的測度(體積)是被保證的。如果O不能被分解成兩個不相交的不變可測集A,B(A \cup B=\Omega,A \cap B=\phi, TtA = At,TtB = B)所有t那麼就稱上述這樣的系統是遍歷系統。

  在嚴格的意義上來說,時間平均空間平均問題並不是由馮·諾伊曼和伯克霍夫解決的,遠在開始產生古典的動態系統的時候就已經涉及到,但對這樣的系統是否是遍歷系統的問題並未解決。

  在遍歷理論方面,大部分研究者所關心的是用整數作下標的保測變換Tt本身的問題,也就是Tt = T,Tt是T的t次迭代。在這方面的結果必然導致實連續時間的結果。

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