遍歷理論
出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)
遍歷理論(Ergodic Theory)
目錄 |
遍歷理論是研究保測變換的漸近性態的數學分支。它起源於為統計力學提供基礎的“遍歷假設”研究，並與動力系統理論、概率論、資訊理論、泛函分析、數論等數學分支有著密切的聯繫。
在統計學中，遍歷理論是指在統計力學發展的中期，馮·諾伊曼(Von Neumann)和伯克霍夫(Birkhoff)給出了識別具有時間平均的空間平均問題的解答。可以表述如下:如果x1（
<t<
）表示一個保守的動態系統軌道，在時間t = 0時，通過點r = r0，在此系統的相空間Ω上定義的適當函數：
方程式的左邊是一個沿著軌道對於函數(可觀察的)f的時間平均，而右邊是相或空間平均。
馮·諾伊曼證明瞭該式的一個平均收斂形式，以後不久，G·D·伯克霍夫證明瞭該式，正如他所說的，對於幾乎所有的狀態，包括這裡的兩種情況，都是在假設系統(限於Ω)為遍歷的情況下得到的。遍歷是一種概念，我們現在來解釋它(馮·諾伊曼，1932年;伯克霍夫，1931年)。人們很快就認識到，(遍歷定理)的兩種形式可以在更加抽象的背景下描述和證明。誠然，人們可以說，這種抽象和由此而產生的數學式子就是遍歷理論本身。
令(Ω,m)代表一個有限維的抽象空間，(假設m(Ω) = 1也不失一般性，正如我們將要做的。)設Tt為一個變換族，下標是時間(在各種情況下，它是一個實數、整數)。假設這一族變換是保測變換(mTtB = mB，對於所有的“可測”集均成立)。那麼，當才在它的指標集中變化時對Tt的研究，就提供了一個漸近系統模型，這樣的漸近系統如同前面描述的相空間中的動態學系統一樣，在其中的測度(體積)是被保證的。如果O不能被分解成兩個不相交的不變可測集A,B(
,
, TtA = At,TtB = B)所有t那麼就稱上述這樣的系統是遍歷系統。
在嚴格的意義上來說，時間平均空間平均問題並不是由馮·諾伊曼和伯克霍夫解決的，遠在開始產生古典的動態系統的時候就已經涉及到，但對這樣的系統是否是遍歷系統的問題並未解決。
在遍歷理論方面，大部分研究者所關心的是用整數作下標的保測變換Tt本身的問題，也就是Tt = T,Tt是T的t次迭代。在這方面的結果必然導致實連續時間的結果。
繼伯克霍夫和馮·諾伊曼的開創性工作之後，許多數學家對個體及平均遍歷定理作了種種推廣。它包括：把平均遍歷定理推廣到更一般的巴拿赫空間和更一般的變換；把關於點變換的平均遍歷定理推廣到關於馬爾可夫過程的平均遍歷定理；把關於離散半群φk的個體及平均遍歷定理推廣到更一般的單參數半群φt甚至多參數的情形，等等。由許多數學研究者得到的遍歷定理的各種提法有：極大遍歷定理，一致遍歷定理，受控遍歷定理，局部遍歷定理，阿貝爾遍歷定理和次可加遍歷定理等等。保測變換的譜理論研究，則是遍歷理論與泛函分析相關聯的重要課題。
上面提到的遍歷理論的研究工作，都假定事先有了一定的測度。在數學研究中還可以提這樣一類問題：給定拓撲空間Χ上的連續變換φ，是否存在Χ上的概率測度μ使其成為保測變換？這樣的測度是否唯一？這又引起了關於不變測度的研究。數學上已經證明：對於緊致的可度量化的空間Χ的連續變換φ，不變測度必定存在。如果這種不變測度μ是唯一的，那麼φ關於該測度就必定是遍歷的，這時稱變換φ具有唯一遍歷性。
1958年Α.Η.柯爾莫哥洛夫在保測變換的研究中引進了測度熵的概念。測度熵反映了變換紊亂的程度，其物理背景正是熱力學中的熵。測度熵的引進是繼伯克霍夫和馮·諾伊曼工作之後保測變換研究中的又一重大進展。測度熵作為不變數為研究保測變換的同構問題提供了重要的工具。這一工具最初的效果是辨明瞭一些過去長期無法區分的系統的不同構。1970年D.奧恩斯坦獲得了正面肯定同構的重要成果，他證明瞭具有相同測度熵的伯努利移位是同構的。類比於測度熵，R.L.阿德勒、A.G.康海姆和M.H.麥克安德魯等人1965年在動力系統理論的研究中引入了拓撲熵的概念。
