遍历理论

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遍历理论(Ergodic Theory)

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什么是遍历理论

  在统计学中,遍历理论是指在统计力学发展的中期,冯·诺伊曼(Von Neumann)和伯克霍夫(Birkhoff)给出了识别具有时间平均的空间平均问题的解答。可以表述如下:如果x1-\infty<t<\infty)表示一个保守的动态系统轨道,在时间t = 0时,通过点r = r0,在此系统的相空间Ω定义的适当函数:

  \lim_{T \to \infty}(1/T)\int_{0}^{T} f(x_t)dt=\int_{\Omega} fdm/m(\Omega)

遍历理论的研究

  \lim_{T \to \infty}(1/T)\int_{0}^{T} f(x_t)dt=\int_{\Omega} fdm/m(\Omega)方程式的左边是一个沿着轨道对于函数(可观察的)f的时间平均,而右边是相或空间平均。

  冯·诺伊曼证明了该式的一个平均收敛形式,以后不久,G·D·伯克霍夫证明了该式,正如他所说的,对于几乎所有的状态,包括这里的两种情况,都是在假设系统(限于Ω)为遍历的情况下得到的。遍历是一种概念,我们现在来解释它(冯·诺伊曼,1932年;伯克霍夫,1931年)。人们很快就认识到,(遍历定理)的两种形式可以在更加抽象的背景下描述和证明。诚然,人们可以说,这种抽象和由此而产生的数学式子就是遍历理论本身。

  令(Ω,m)代表一个有限维的抽象空间,(假设m(Ω) = 1也不失一般性,正如我们将要做的。)设Tt为一个变换族,下标是时间(在各种情况下,它是一个实数、整数)。假设这一族变换是保测变换(mTtB = mB,对于所有的“可测”集均成立)。那么,当才在它的指标集中变化时对Tt的研究,就提供了一个渐近系统模型,这样的渐近系统如同前面描述的相空间中的动态学系统一样,在其中的测度(体积)是被保证的。如果O不能被分解成两个不相交的不变可测集A,B(A \cup B=\Omega,A \cap B=\phi, TtA = At,TtB = B)所有t那么就称上述这样的系统是遍历系统。

  在严格的意义上来说,时间平均空间平均问题并不是由冯·诺伊曼和伯克霍夫解决的,远在开始产生古典的动态系统的时候就已经涉及到,但对这样的系统是否是遍历系统的问题并未解决。

  在遍历理论方面,大部分研究者所关心的是用整数作下标的保测变换Tt本身的问题,也就是Tt = T,Tt是T的t次迭代。在这方面的结果必然导致实连续时间的结果。

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