連續時間隨機模型

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連續時間隨機模型（Continuous-Time Stochastic Models）

　　連續時間隨機模型為描述經濟變數隨時間的演化提供了一種方法。幾乎所有的連續時間隨機模型都具有某些共同的特征。

　　第一，這些模型描述的都是經濟變數隨時間進行的調整或者演化。例如，許多連續時間隨機模型都是通過說明價格的變化率取決於商品或服務的需求、商品或服務的供給以及隨機擾動這一點來描述商品或服務的價格進行的調整。這些模型基於如下觀察(對大部分商品和服務來說):如果需求大於供給，價格就會上升(價格變動率將是正的)；如果需求小於供給，價格就會下降(價格變動率將是負的)。連續時間隨機模型也被用於描述某些數量的調整，這是通過說明現有的實際變數(或者是實際交換量)會隨時間流逝朝某些“合意的”或者“最優的”變數移動來實現的。但是朝向最優數量的調整有時候會被隨機擾動延遲或阻礙。另外，最優數量也會隨著時間的流逝而變化。例如，聯邦儲備體系的連續時間隨機模型可能通過使用下麵的假說進行構建，這個假說就是聯邦儲備體系的官員會調整實際的貨幣數量，力圖使貨幣的實際數量朝某種“最優”水平運動(使得抵押貸款利率保持在9%以下的水平，或者是將失業率控制在5%以下的水平)。隨機擾動(比如公眾通貨存款比率的未預期到的變化)可能會阻止官員將實際貨幣數量調整至最優水平。另外，如果存在某種經濟狀況(比如生產率的增長率，或者貨幣周轉率的變化率)變化的話，最優貨幣數量也會隨時間的流逝而改變。

　　大部分連續時間隨機模型所共有的第二個特點是，作為模型組成部分的調整過程不是基於市場機制(如在價格一調整模型中的需求者和供給者的行為)，就是基於政策制定者對經濟狀況的反應(如在貨幣數量一調整的例子中)。

　　連續時間隨機模型可以是任意大小的。比如，一個打算用於描述一個企業或者個人的連續時間隨機模型會由較小數目的方程組成(或者可能僅僅是一個方程)。類似的，一個打算以高度綜合的形式去描述巨集觀經濟行為的連續時間隨機模型也會由較小數目的方程組成。例如，描述GNP、價格指數、就業、工資/薪酬指數、利率指數以及貿易盈餘/赤字行為的巨集觀經濟模型是由6個方程組成的—任何一個方程都會描述每個巨集觀經濟變數的行為。另外，一個打算以高度綜合的形式去描述巨集觀經濟行為的連續時間隨機模型也可能由很多方程組成。

　　經濟學家會對他們構建的連續時間隨機模型進行“定性分析”。定性分析包括兩項任務。第一項任務是要決定一個特定的模型對於出現在這個模型中的變數的未來行為而言意味著什麼；也就是說，模型的構建者必須決定這個模型是否表明變數會隨時間的流逝而逐漸收斂於某種穩態增長率，或者是這個模型是否意味變數會隨時間的流逝而表現得更不規律。第一項任務被稱為“尋找穩態”。

　　比較動態學是進行定性分析時的第二項任務。比較動態學被定義為模型結構的變化對於變數的時間路徑以及模型所定義行為的影響。比如，比較動態學可能會表明當模型的參數取一組值時，，經濟模型會趨於一個穩態，但是當取另外一組參數值時，它不會趨於一個穩態。比較動態學可以通過兩種方式中的任何一種來完成：通過使用偏導數（一個從數學中借用過來的概念），或者通過應用敏感性分析。敏感性分析是通過下麵的步驟完成的，首先為模型中出現的參數選取許多不同的數值，依次將各組參數值代入模型中，然後考察由不同組變數值所產生的變數的時間路徑。總之，經濟學家通過完成下麵這兩項任務來進行連續時間隨機模型的敏感性分析。首先，他們要決定模型的變數是否會隨時間的流逝而趨近穩態增長率(也就是說，他們要尋找穩態)；其次，他們要決定模型結構的變化對於變數時間路徑的影響，這些變數的行為在模型中得到了描述(也就是說，他們在完成“比較動態學”的任務)。

　　連續時間隨機模型通常要比離散時間隨機模型更受歡迎，因為大部分經濟模型中的變數都是不同的當事人和不同的企業在不同的時間點上做出的大量微觀經濟決策的結果。因為有如此多的決策制定者卷入其中，所以下麵這種情況是很可能發生的，即一個或者更多的決策制定者會在未來任何一個時點上改變他們的行為。因而那些精確的經濟模型中的變數在未來在何一個時點上發生變動的可能性都非常大。這樣，連續時間隨機模型對於上面所描述的狀況就會非常適用。另一方面，離散時間隨機模型基於下麵的假說，即所有的變數只能夠在離散的時點上變化，並且只能是每個時期變化一次(比如，只能每月一次，或者只能每星期一次)。因此，離散時間隨機模型不能反映真實世界中的變化所帶來的影響。

　　經濟學家們所使用的連續時間隨機模型通常適用於兩種類型中的一種；這些模型不是組成隨機微分方程系統，就是組成隨機最優控制模型。隨機微分方程系統明確地說明瞭一個或者更多經濟變數的變化率，其中經濟變數的變化率是這些變數現存水平的函數，也是一種或者更多隨機擾動的函數。例如，A.R.伯格斯特龍（A.R.Bergstrom）和C.R.懷默（C.R.Wymer）就提出了一種隨機微分方程系統，這個系統將英國8個巨集觀經濟變數的變化率定義成這8個變數的水平值與許多隨機擾動的函數。

　　由經濟學家構建的隨機微分方程模型可以分為兩個子類:理論模型和經驗模型。在不使用統計數據決定模型中的參數取值的情況下，經濟學家會在經驗的指導下構建隨機微分方程理論模型。另一方面，通過使用統計數據決定模型中的參數的取值，經濟學家構建了經驗模型。在20世紀70年代中期之前構建的所有隨機微分方程模型都是理論模型，因為構建並使用連續時間隨機微分方程系統所需要的統計技術一直到20世紀70年代中期才被開發出來。

　　早期的理論模型被用於決定隨機微分方程模型的一般性質。例如，早期的研究者們發現每個正確構建的隨機微分方程模型都有一個"解"，也是隨機過程。另外，這些早期研究者們還發現，與這個解相聯繫，還存在一個表明模型中變數隨時間變化的速率的“漂移向量“，以及可以用來決定變數變化率之間預期關係的擴散矩陣。

　　由於其恰當的定義，漂移向一量可以被用於執行尋找穩態的任務。特別是，如果與隨機微分方程系統相聯繫的漂移向量會隨著時間的流逝而趨向於一個恆量(也就是說，如果系統中變數的預期變化率趨於一個常數)，模型中的變數就會趨於穩態增長率。

　　除了發現漂移向量可以用於執行尋找穩態的任務之外，隨機微分方程的早期研究者們還發現，對應於隨機微分方程系統的解的漂移向量和擴散矩陣可以被用來決定一種概率，即模型所描述的變數在某個特定時間區間以及在提前確定的時間區間中某個時點上取一組值的概率。例如，考慮一個為描述GNP、就業和銀行最低利率而設計的模型。隨機微分方程的早期研究者們的發現可以用於決定下麵這種狀況出現的概率，即在某個時點上，就業人口在1.04億到1.1億之間，同時銀行最低利率在9.5%-10%之間時，GNP在5.2萬億美元到5.4萬憶美元之間的概率。

　　總而言之，在20世紀70年代中期之前，研究者們主要的工作對象是“理論的”隨機微分方程模型，因為構建“經驗的”模型所需要的統計方法還沒有被髮展出來。由早期研究者們發現的漂移向量使得尋找穩態成為可能。漂移向量和擴散矩陣使得經濟學家們能夠決定模型所描述的變數在某個特定的時間區間以及在提前確定的時間區間中的某個時點上取一組值的概率。

　　由於20世紀70年代統計技術的進展可被應用於連續時間隨機微分方程模型，許多經驗的隨機微分方程模型也被髮展出來。一旦經驗的隨機微分方程模型的創建者開始用統計數據去估計模型的參數，創建者們就會進行“定性分析”(也就是說尋找穩態並執行比較動態學的任務)。這個分析的目標是雙方面的:建立一個儘可能接近真實世界數據的模型以及發現這個模型對於經濟行為的一般原理而言的意義。經驗的隨機微分方程模型的一個例子就是伯格斯特龍和懷默的工作成果，他們發展了英國經濟的非均衡模型。他們的模型描述了8個巨集觀經濟變數(英國的實際消費、實際產出、實物資本存量的大小、實際出口、實際進口、就業、價格水平及利率)的行為。經驗的隨機微分方程模型的第二個例子是P. C.帕頓(P. C. Padoan)的工作成果，他構建了一個歐洲匯率決定模型。第三個例子是行為資產定價模型，它使得投資者可以決定這樣一種資產組合，這種資產組合能最大化在投資者所確定的一定時間區間內命中投資目標的概率。

　　實踐中的經濟學家們應用的第二種連續時間隨機方程模型是最優控制隨機模型。一個最優控制隨機模型會告訴一個決策者當經濟變數的最大化受到某些經濟關係的限制(比如一個競爭者對決策者行為的反應或者是用來詳細說明企業是如何使用投入來生產出其要出售的產出的生產函數)時，如何確定他或她控制下的變數(也就是控制變數)的價值，以便最大化某些經濟變數(比如資產組合的利潤或者增長率)在決策者確定的時間區間內所取的值。

　　連續時間隨機模型是在20世紀30年代由一些數學家首創的，比如A. N.柯爾莫哥洛夫。這些模型首先被應用於物理學中(比如，用於描述流體的粒子所做的運動)。經濟學家在20世紀70年代開始使用這類模型.

　　在20世紀70年代之前，經濟學家只使用離散時間模型，一般來說，這種模型只能被應用於描述僅在離散時間點上(每天一次，或者每月一次等)變化的變數的行為。經濟學家知道經濟模型中變數的取值是不同的當事人和不同的企業在不同的時點上做出許多決策的結果。因而，在一個與事實相符的經濟模型里，下麵這種情況是很可能的，即一個或者更多變數在

　　任何一個時點上都會發生變化。他們希望離散時間模型可以準確地趨近他們感興趣的經濟變數的連續時間行為。

　　隨著經濟學家數學知識水平的提高，他們開始意識到連續時間隨機模型可被用來捕捉變數在任何一個時點上的影響。同時經濟學家們傾向於使用隨機模型，，因為他們意識到在真實世界里，隨機擾動會持續地影響經濟變數的行為。

　　未來經濟學家對連續時間隨機變數的使用很可能因為三個原因而擴展。第一，經濟學家意識到對於在經濟中的應用來說，連續時間隨機變數要比其他數學建模技術更加合適；第二，經濟學家正在不斷提高他們的數學技巧，所以未來越來越多的經濟學家將會掌握應用連續時間隨機模型所必需的工具；第三，現存的統計技術已經允許我們基於真實世界的數據來構建經驗的連續時間隨機模型。這些技術是由伯格斯特龍、賈恩卡洛•甘道爾夫(Giancarlo Gandolfo)和懷默在20世紀70年代發展出來的。