连续时间随机模型

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连续时间随机模型（Continuous-Time Stochastic Models）

　　连续时间随机模型为描述经济变量随时间的演化提供了一种方法。几乎所有的连续时间随机模型都具有某些共同的特征。

　　第一，这些模型描述的都是经济变量随时间进行的调整或者演化。例如，许多连续时间随机模型都是通过说明价格的变化率取决于商品或服务的需求、商品或服务的供给以及随机扰动这一点来描述商品或服务的价格进行的调整。这些模型基于如下观察(对大部分商品和服务来说):如果需求大于供给，价格就会上升(价格变动率将是正的)；如果需求小于供给，价格就会下降(价格变动率将是负的)。连续时间随机模型也被用于描述某些数量的调整，这是通过说明现有的实际变量(或者是实际交换量)会随时间流逝朝某些“合意的”或者“最优的”变量移动来实现的。但是朝向最优数量的调整有时候会被随机扰动延迟或阻碍。另外，最优数量也会随着时间的流逝而变化。例如，联邦储备体系的连续时间随机模型可能通过使用下面的假说进行构建，这个假说就是联邦储备体系的官员会调整实际的货币数量，力图使货币的实际数量朝某种“最优”水平运动(使得抵押贷款利率保持在9%以下的水平，或者是将失业率控制在5%以下的水平)。随机扰动(比如公众通货存款比率的未预期到的变化)可能会阻止官员将实际货币数量调整至最优水平。另外，如果存在某种经济状况(比如生产率的增长率，或者货币周转率的变化率)变化的话，最优货币数量也会随时间的流逝而改变。

　　大部分连续时间随机模型所共有的第二个特点是，作为模型组成部分的调整过程不是基于市场机制(如在价格一调整模型中的需求者和供给者的行为)，就是基于政策制定者对经济状况的反应(如在货币数量一调整的例子中)。

　　连续时间随机模型可以是任意大小的。比如，一个打算用于描述一个企业或者个人的连续时间随机模型会由较小数目的方程组成(或者可能仅仅是一个方程)。类似的，一个打算以高度综合的形式去描述宏观经济行为的连续时间随机模型也会由较小数目的方程组成。例如，描述GNP、价格指数、就业、工资/薪酬指数、利率指数以及贸易盈余/赤字行为的宏观经济模型是由6个方程组成的—任何一个方程都会描述每个宏观经济变量的行为。另外，一个打算以高度综合的形式去描述宏观经济行为的连续时间随机模型也可能由很多方程组成。

　　经济学家会对他们构建的连续时间随机模型进行“定性分析”。定性分析包括两项任务。第一项任务是要决定一个特定的模型对于出现在这个模型中的变量的未来行为而言意味着什么；也就是说，模型的构建者必须决定这个模型是否表明变量会随时间的流逝而逐渐收敛于某种稳态增长率，或者是这个模型是否意味变量会随时间的流逝而表现得更不规律。第一项任务被称为“寻找稳态”。

　　比较动态学是进行定性分析时的第二项任务。比较动态学被定义为模型结构的变化对于变量的时间路径以及模型所定义行为的影响。比如，比较动态学可能会表明当模型的参数取一组值时，，经济模型会趋于一个稳态，但是当取另外一组参数值时，它不会趋于一个稳态。比较动态学可以通过两种方式中的任何一种来完成：通过使用偏导数（一个从数学中借用过来的概念），或者通过应用敏感性分析。敏感性分析是通过下面的步骤完成的，首先为模型中出现的参数选取许多不同的数值，依次将各组参数值代入模型中，然后考察由不同组变量值所产生的变量的时间路径。总之，经济学家通过完成下面这两项任务来进行连续时间随机模型的敏感性分析。首先，他们要决定模型的变量是否会随时间的流逝而趋近稳态增长率(也就是说，他们要寻找稳态)；其次，他们要决定模型结构的变化对于变量时间路径的影响，这些变量的行为在模型中得到了描述(也就是说，他们在完成“比较动态学”的任务)。

　　连续时间随机模型通常要比离散时间随机模型更受欢迎，因为大部分经济模型中的变量都是不同的当事人和不同的企业在不同的时间点上做出的大量微观经济决策的结果。因为有如此多的决策制定者卷入其中，所以下面这种情况是很可能发生的，即一个或者更多的决策制定者会在未来任何一个时点上改变他们的行为。因而那些精确的经济模型中的变量在未来在何一个时点上发生变动的可能性都非常大。这样，连续时间随机模型对于上面所描述的状况就会非常适用。另一方面，离散时间随机模型基于下面的假说，即所有的变量只能够在离散的时点上变化，并且只能是每个时期变化一次(比如，只能每月一次，或者只能每星期一次)。因此，离散时间随机模型不能反映真实世界中的变化所带来的影响。

　　经济学家们所使用的连续时间随机模型通常适用于两种类型中的一种；这些模型不是组成随机微分方程系统，就是组成随机最优控制模型。随机微分方程系统明确地说明了一个或者更多经济变量的变化率，其中经济变量的变化率是这些变量现存水平的函数，也是一种或者更多随机扰动的函数。例如，A.R.伯格斯特龙（A.R.Bergstrom）和C.R.怀默（C.R.Wymer）就提出了一种随机微分方程系统，这个系统将英国8个宏观经济变量的变化率定义成这8个变量的水平值与许多随机扰动的函数。

　　由经济学家构建的随机微分方程模型可以分为两个子类:理论模型和经验模型。在不使用统计数据决定模型中的参数取值的情况下，经济学家会在经验的指导下构建随机微分方程理论模型。另一方面，通过使用统计数据决定模型中的参数的取值，经济学家构建了经验模型。在20世纪70年代中期之前构建的所有随机微分方程模型都是理论模型，因为构建并使用连续时间随机微分方程系统所需要的统计技术一直到20世纪70年代中期才被开发出来。

　　早期的理论模型被用于决定随机微分方程模型的一般性质。例如，早期的研究者们发现每个正确构建的随机微分方程模型都有一个"解"，也是随机过程。另外，这些早期研究者们还发现，与这个解相联系，还存在一个表明模型中变量随时间变化的速率的“漂移向量“，以及可以用来决定变量变化率之间预期关系的扩散矩阵。

　　由于其恰当的定义，漂移向一量可以被用于执行寻找稳态的任务。特别是，如果与随机微分方程系统相联系的漂移向量会随着时间的流逝而趋向于一个恒量(也就是说，如果系统中变量的预期变化率趋于一个常数)，模型中的变量就会趋于稳态增长率。

　　除了发现漂移向量可以用于执行寻找稳态的任务之外，随机微分方程的早期研究者们还发现，对应于随机微分方程系统的解的漂移向量和扩散矩阵可以被用来决定一种概率，即模型所描述的变量在某个特定时间区间以及在提前确定的时间区间中某个时点上取一组值的概率。例如，考虑一个为描述GNP、就业和银行最低利率而设计的模型。随机微分方程的早期研究者们的发现可以用于决定下面这种状况出现的概率，即在某个时点上，就业人口在1.04亿到1.1亿之间，同时银行最低利率在9.5%-10%之间时，GNP在5.2万亿美元到5.4万忆美元之间的概率。

　　总而言之，在20世纪70年代中期之前，研究者们主要的工作对象是“理论的”随机微分方程模型，因为构建“经验的”模型所需要的统计方法还没有被发展出来。由早期研究者们发现的漂移向量使得寻找稳态成为可能。漂移向量和扩散矩阵使得经济学家们能够决定模型所描述的变量在某个特定的时间区间以及在提前确定的时间区间中的某个时点上取一组值的概率。

　　由于20世纪70年代统计技术的进展可被应用于连续时间随机微分方程模型，许多经验的随机微分方程模型也被发展出来。一旦经验的随机微分方程模型的创建者开始用统计数据去估计模型的参数，创建者们就会进行“定性分析”(也就是说寻找稳态并执行比较动态学的任务)。这个分析的目标是双方面的:建立一个尽可能接近真实世界数据的模型以及发现这个模型对于经济行为的一般原理而言的意义。经验的随机微分方程模型的一个例子就是伯格斯特龙和怀默的工作成果，他们发展了英国经济的非均衡模型。他们的模型描述了8个宏观经济变量(英国的实际消费、实际产出、实物资本存量的大小、实际出口、实际进口、就业、价格水平及利率)的行为。经验的随机微分方程模型的第二个例子是P. C.帕顿(P. C. Padoan)的工作成果，他构建了一个欧洲汇率决定模型。第三个例子是行为资产定价模型，它使得投资者可以决定这样一种资产组合，这种资产组合能最大化在投资者所确定的一定时间区间内命中投资目标的概率。

　　实践中的经济学家们应用的第二种连续时间随机方程模型是最优控制随机模型。一个最优控制随机模型会告诉一个决策者当经济变量的最大化受到某些经济关系的限制(比如一个竞争者对决策者行为的反应或者是用来详细说明企业是如何使用投入来生产出其要出售的产出的生产函数)时，如何确定他或她控制下的变量(也就是控制变量)的价值，以便最大化某些经济变量(比如资产组合的利润或者增长率)在决策者确定的时间区间内所取的值。

　　连续时间随机模型是在20世纪30年代由一些数学家首创的，比如A. N.柯尔莫哥洛夫。这些模型首先被应用于物理学中(比如，用于描述流体的粒子所做的运动)。经济学家在20世纪70年代开始使用这类模型.

　　在20世纪70年代之前，经济学家只使用离散时间模型，一般来说，这种模型只能被应用于描述仅在离散时间点上(每天一次，或者每月一次等)变化的变量的行为。经济学家知道经济模型中变量的取值是不同的当事人和不同的企业在不同的时点上做出许多决策的结果。因而，在一个与事实相符的经济模型里，下面这种情况是很可能的，即一个或者更多变量在

　　任何一个时点上都会发生变化。他们希望离散时间模型可以准确地趋近他们感兴趣的经济变量的连续时间行为。

　　随着经济学家数学知识水平的提高，他们开始意识到连续时间随机模型可被用来捕捉变量在任何一个时点上的影响。同时经济学家们倾向于使用随机模型，，因为他们意识到在真实世界里，随机扰动会持续地影响经济变量的行为。

　　未来经济学家对连续时间随机变量的使用很可能因为三个原因而扩展。第一，经济学家意识到对于在经济中的应用来说，连续时间随机变量要比其他数学建模技术更加合适；第二，经济学家正在不断提高他们的数学技巧，所以未来越来越多的经济学家将会掌握应用连续时间随机模型所必需的工具；第三，现存的统计技术已经允许我们基于真实世界的数据来构建经验的连续时间随机模型。这些技术是由伯格斯特龙、贾恩卡洛•甘道尔夫(Giancarlo Gandolfo)和怀默在20世纪70年代发展出来的。