維納過程

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維納過程(Wiener Process)

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什麼是維納過程

  維納過程是布朗運動數學模型。英國植物學家布朗在顯微鏡下,觀察漂浮在平靜的液面上的微小粒子,發現它們不斷地進行著雜亂無章的運動,這種現象後來稱為布朗運動

  以W(t)表示運動中一微粒從時刻t=0到時刻t>0的位移的橫坐標(同樣也可以縱坐標)且設W(0)=0。根據愛因斯坦1905年提出的理論,微粒的這種運動是由於受到大量隨機的,相互獨立的分子碰撞的結果。於是,粒子在時段(s,t](與相繼兩次碰撞的時間間隔相比是很大的量)上的位移可看作是許多微小位移的代數和。

  顯然,依中心極限定理,假定位移W(t)-W(s)為正態分佈是合理的。其次,由於粒子的運動完全是由液體分子的碰撞而引起的。這樣,在不相互重疊的時間間隔內,碰撞的次數,大小和方向可假定是相互獨立的,這就是說位移W(t)具有獨立的增量。另外,液面處於平衡狀態,這時粒子在一時段上位移的概率分佈可以認為只依賴於這時段的長度,而與觀察的起始時刻無關,即W(t)具有平穩增量。

  綜合所述,可引入如下的數學模型:

  (1) 具有獨立增量;

  (2) 對任意的t>s≥0,增量W(t) − W(s)~N(O2(ts)),且σ > 0

  (3) W(0)=0

  則稱此過程為維納過程

維納過程的特點

  維納過程,具有如下特點:

  1、它是一個Markov過程。因此該過程的當前值就是做出其未來預測中所需的全部信息。

  2、維納過程具有獨立增量。該過程在任一時間區間上變化的概率分佈獨立於其在任一的其他時間區間上變化的概率。

  3、它在任何有限時間上的變化服從正態分佈,其方差隨時間區間的長度呈線性增加。

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