维纳过程

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维纳过程(Wiener Process)

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什么是维纳过程

  维纳过程是布朗运动数学模型。英国植物学家布朗在显微镜下,观察漂浮在平静的液面上的微小粒子,发现它们不断地进行着杂乱无章的运动,这种现象后来称为布朗运动

  以W(t)表示运动中一微粒从时刻t=0到时刻t>0的位移的横坐标(同样也可以纵坐标)且设W(0)=0。根据爱因斯坦1905年提出的理论,微粒的这种运动是由于受到大量随机的,相互独立的分子碰撞的结果。于是,粒子在时段(s,t](与相继两次碰撞的时间间隔相比是很大的量)上的位移可看作是许多微小位移的代数和。

  显然,依中心极限定理,假定位移W(t)-W(s)为正态分布是合理的。其次,由于粒子的运动完全是由液体分子的碰撞而引起的。这样,在不相互重叠的时间间隔内,碰撞的次数,大小和方向可假定是相互独立的,这就是说位移W(t)具有独立的增量。另外,液面处于平衡状态,这时粒子在一时段上位移的概率分布可以认为只依赖于这时段的长度,而与观察的起始时刻无关,即W(t)具有平稳增量。

  综合所述,可引入如下的数学模型:

  (1) 具有独立增量;

  (2) 对任意的t>s≥0,增量W(t) − W(s)~N(O2(ts)),且σ > 0

  (3) W(0)=0

  则称此过程为维纳过程

维纳过程的特点

  维纳过程,具有如下特点:

  1、它是一个Markov过程。因此该过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息。

  2、维纳过程具有独立增量。该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化的概率。

  3、它在任何有限时间上的变化服从正态分布,其方差随时间区间的长度呈线性增加。

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