策略投票

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什麼是策略投票

  策略投票是指投票人通過在投票中謊報自己的真實偏好,使投票結果發生有利於自己的變化。人們很早就註意到這種‘策略行為’在投票選舉中的存在。投票選舉理論的奠基人Dodgson經過大量對比研究認為:投票程式的可操縱性和投票人策略投票的行為是普遍存在的。在Arrow不可能定理的基礎上,Gibbard(1973)和Satterthwaite(1975)提出了Gibbard--Satterthwaite防策略投票不可能定理,從理論上證明策略投票的必然性。之後的很多研究者對防策略投票問題進行了研究。

策略投票的原因

  投票人的策略投票行為與投票規則有關,在某些投票規則(如PR)下策略投票很少發生,在另一些投票規則(如BR)下策略投票發生的可能性較大。在本節中我們將分析策略投票的原因,並探討防止策略投票的方法。

  投票選舉的過程可以表示為圖1的形式。在個體選擇階段投票人以選票方式將自己的偏好表示出來,偏好集結過程將所有個體偏好集結為社會偏好,然後根據社會偏好確定一種予以執行的方案(或社會狀態)。投票人在個體選擇階段是真實投票還是策略投票取決於整個投票過程的規則。

  Image:投票选举的过程.png

  根據對投票過程的劃分,投票規則可以分為三個部分:產生備選方案的規則,個體偏好集結函數,對社會偏好的執行規則。其中對社會偏好的執行規則是指如何根據社會偏好選擇一個得以執行的方案,它往往與個體偏好集結函數結合在一起。最普遍的對社會偏好的執行規則是所謂的‘勝者全得’,即在社會偏好排序中排在第一位的候選方案將成為唯一得到執行的方案。例如Condorcet規則的集結函數是對備選方案兩兩比較,如果某一備選方案在兩兩比較中優於其它任何方案,它就成為獲勝者,同時它也成為將被執行的方案。與此相反,PR的社會偏好的執行規則是根據社會偏好按比例分配選舉收益

  接下來我們就來分析三個導致策略投票的原因。

  1.產生備選方案的規則導致策略投票行為。

  怎樣產生備選方案的問題以及它和策略投票行為的關係在以往的研究中常被忽視,但不公平的備選方案確實會導致策略投票行為。

  例4:一個委員會有10名成員,他們將用SMV規則對一塊空地的使用進行投票表決,目的是選擇唯一的使用方案。現在假定以某種獨裁方式提出了兩個備選方案。方案A:在空地上建足球場;方案B:在空地上建游泳池。委員會中的5名成員支持方案A,3名成員支持方案B,另外2名成員既不支持A也不支持Bo

  Image:策略投票图像.png    (4)

  如果所有成員都真實投票,社會偏好應該是AFB。但如果成員們的偏好是公開的,那麼投票結果將很可能是A一B,使兩種方案被推遲。容易驗證在已有的任何一種投票規則下投票人z都有策略投票的激勵。導致這樣結果的原因是產生備選方案的規則不公平。例如,投票人z可能最希望在空地上建網球場,但這種偏好無法通過投票顯示出來,因此z可能通過策略投票行為減少自己的損失。

  2.偏好集結函數的缺陷導致策略投票行為。

  偏好集結函數的缺陷(如SMV或Condorcet規則導致的多數票迴圈,BR對弱序的處理等)是導致策略投票行為的另一個原因。

  下麵以三個備選方案的投票為例說明偏好集結函數怎樣影響個人投票行為。在三個備選方案的情況下,投票人對方案的排序總共有13種可能,我們把這些可能的排序表示為圖2。圖2既是投票人偏好的集合,也是作為個體偏好集結結果的社會偏好的集合。在發生偏好強度悖論的情況下,社會偏好將不滿足傳遞性,偏好集結的結果將超出圖2的排序範圍。在這種情況下,一方面投票人真實投票的結果變得不可預測,另一方面具有某些特定偏好排序的投票人可能處於獨裁或寡頭的位置。

  Image:三个备选方案的全部排序.png

  3.3對社會偏好的執行規則導致策略投票行為。

  最普遍的對社會偏好的執行規則是選擇唯一的獲勝者,獲勝的候選人(或備選方案)獨占全部選舉收益。這種‘勝者全得’的投票規則是對社會偏好的一種扭曲,它使社會偏好中除獲勝者以外的備選方案的排序變得沒有意義。例如,在對三個備選方案A,B和C的投票選舉中,如果最後A勝出,則實際社會偏好是A>B>C或是A>C>B或A>B>C變得沒有差別。我們用圖3表示從三個備選方案中選出唯一獲勝者的社會偏好集合。與圖1相比它的可能社會狀態縮小為7種。假設對於全部備選方案之中的B和C每個投票人都認為B>C,這樣社會偏好中也應該有B>C。但如果最後始終是A勝出,那麼社會偏好中B>C的排序變得沒有意義,投票人也就失去了把B排在C前面的激勵。這是導致策略投票的又一原因。

  Image:从三个备选方案中选出唯一获胜者的全部社会偏好排序.png

  比例代表制(PR)是一種避免偏好強度悖論的投票規則,並且它對社會偏好的執行規則不是‘勝者全得’,在備選方案適當的情況下它將是防策略投票的。

  在第二節中我們已經討論了備選方案之間相關性的問題,如何選擇備選方案不僅關係到選舉的公平性也對策略投票行為的發生有重要影響。對於例4中兩個備選方案的投票問題,即使採用PR規則,具有A一B偏好的投票人仍然可能尋求策略投票,因為他所期望的方案並不在備選方案之中。

  以下的定理表明:如果每個投票人最喜好的方案都在備選方案集合中,採用PR規則可以避免策略投票行為。

  定理1:如果對備選方案不加限制,一人一票的比例代表制是防策略投票的。i1F眼如果一個投票規則使每個投票人在真實投票的情況下取得最大收益,這樣投票人就沒有採用策略投票的激勵,這種投票規則必然是防策略投票的。因此,只需要證明PR規則下任何投票人在真實投票的情況下取得最大收益。

  對於n個投票人、採用PR規則的投票選舉,設選舉總收益為U。首先我們將證明任何投票人至少可以取得\frac{U}{n}的收益。既然對備選方案沒有限制,任意一個投票人i(i∈n)總可以提出一個方案,並使該方案獲得至少一票。因此,只要i提出一個對自己完全有利的備選方案並投票給此方案,就至少可以分配到\frac{U}{n}的收益。

  接下來我們將證明投票人i只能從他投票支持的備選方案中取得收益。設i最喜好的備選方案是j(這以為著i從方案j中至少獲得\frac{U}{n}的收益)。假設i投票給備選方案j,而且從備選方案k獲得收益\triangle U(\triangle U > 0)。這時i獲得的選舉收益至少為\frac{U}{n}+\triangle U。在這種情況下至少有一個投票人的收益少於旦,這表明假設錯誤,因此投票人只能從他投票支持的備選方案中取得收益。

  由於任何投票人只可能從他投票支持的方案中獲利,因此每個人都將選擇他最喜好的備選方案,這時選舉結果中每個投票人的收益都是\frac{U}{n}。如果某個投票人沒有真實投票,他的收益不可能超過\frac{U}{n},因此不存在策略投票的激勵。

  定理1表明存在一種防策略投票的投票規則,並且從定理的證明過程中可知在這種投票規則下選舉收益在投票人中平均地分配。這提醒我們在這樣的規則下投票選舉可以得到公平的結果。

參考文獻

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    Lin,林晓辰.

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