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秩和檢驗

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秩和檢驗(Rank sum test)

目錄

什麼是秩和檢驗

  秩和檢驗方法最早是由維爾克松提出,叫維爾克松兩樣本檢驗法。後來曼—惠特尼將其應用到兩樣本容量不等(n\ne n_2)的情況,因而又稱為曼—惠特尼U檢驗。這種方法主要用於比較兩個獨立樣本的差異。

  1、假設中的等價問題

  設有兩個連續型總體, 它們的概率密度函數分別為:

  f1(x),f2(x)(均為未知)

  已知f1(x) = f2(xa),a為末知常數,要檢驗的各假設為:

H0:A = 0,H1:a < 0.
H0:A = 0,H1:a > 0.
H_0:A=0,H_1:a\ne 0.

  設兩個總體的均值存在,分別記為μ12,由於f1,f2最多只差一平移,則有μ2 = μ1a。此時, 上述各假設分別等價於:

H01 = μ2,H11 < μ2
H01 = μ2,H11 > μ2
H_0:\mu_1=\mu_2,H_1:\mu_1\ne\mu_2

  2、秩的定義

  設X為一總體,將容量為n的樣本觀察值按自小到大的次序編號排列成x(1) < x(2) < Λ < x(n),稱x(i)的足標i為x(i)的秩,i = 1,2,Λ,n

  例如:某施行團人員的行李重量數據如表:

重量(kg)3439412833

  寫出重量33的秩。

  因為28<33<34<39<41,故33的秩為2。

  特殊情況:

  如果在排列大小時出現了相同大小的觀察值, 則其秩的定義為足標的平均值。

  例如: 抽得的樣本觀察值按次序排成0,1,1,1,2,3,3,

則3個1的秩均為\frac{2+3+4}{3}=3,
兩個3的秩均為\frac{6+7}{2}=6.5.

  3、秩和的定義

  現設1,2兩總體分別抽取容量為n1,n2的樣本,且設兩樣本獨立。這裡總假定n_1\ne n_2

  我們將這n1 + n2個觀察值放在一起,按自小到大的次序排列,求出每個觀察值的秩,然後將屬於第1個總體的樣本觀察值的秩相加,其和記為R1,稱為第1樣本的秩和,其餘觀察值的秩的總和記作R2,稱為第2樣本的秩和。

  顯然,R1R2離散型隨機變數,且有R_1+R_2=\frac{1}{2}(n_1+n_2)(n_1+n_2+1)

  4、秩和檢驗法的定義

  秩和檢驗是一種非參數檢驗法, 它是一種用樣本秩來代替樣本值的檢驗法。

  用秩和檢驗可以檢驗兩個總體的分佈函數是否相等的問題

秩和檢驗的適用範圍

  如果兩個樣本來自兩個獨立的但非正態或形態不清的兩總體,要檢驗兩樣本之間的差異是否顯著,不應運用參數檢驗中的T檢驗,而需採用秩和檢驗。

秩和檢驗的方法

  1、兩個樣本的容量均小於10的檢驗方法

  檢驗的具體步驟:

  第一步:將兩個樣本數據混合併由小到大進行等級排列(最小的數據秩次編為1,最大的數據秩次編為n1 + n2)。

  第二步:把容量較小的樣本中各數據的等級相加,即秩和,用T表示。

  第三步:把T值與秩和檢驗表中某α顯著性水平下的臨界值相比較,如果T1 < T < T2,則兩樣本差異不顯著;如果T\ne T_1T\ge T_2,則表明兩樣本差異顯著。

  例:某年級隨機抽取6名男生和8名女生的英語考試成績如表1所示。問該年級男女生的英語成績是否存在顯著差異?

         男、女生英語考試成績表

秩和检验

  解:檢驗步驟:

  (1)建立假設:

H0:男女生的英語成績不存在顯著差異
H1:男女生的英語成績存在顯著差異

  (2)編排秩次,求秩和:

  T= 13 + 7 + 14 + 12 + 5.5 + 11= 62.5

  (3)統計推斷:根據n1 = 6,n2 = 8,α = 0.05, 查秩和檢驗表,T的上、下限分別為T1 = 29,T2 = 61,有T > T2,結論是:男女生的英語成績存在顯著差異。

  3、兩個樣本的容量均大於10的檢驗方法

  當兩個樣本容量都大於10時,秩和T的分佈接近於正態分佈,因此可以用Z檢驗,其基本公式為:

  Z=\frac{T-\frac{n_1(n_1+n_2+1)}{2}}{\sqrt{\frac{n_1\times n_2(n_1+n_2+1)}{12}}}

  式中:T為較小的樣本的秩和。

  例:某校演講比賽後隨即抽出兩組學生的比賽成績如表2,問兩組成績是否有顯著差異?

秩和检验

  解:檢驗步驟:

  (1)建立假設:

H0:兩組成績不存在顯著差異
H1:兩組成績存在顯著差異

  (2)編排秩次,求秩和:

n1 = 12,n2 = 14,T = 144.5,代入公式,有:

  Z=\frac{T-\frac{n_1(n_1+n_2+1)}{2}}{\sqrt{\frac{n_1\times n_2(n_1+n_2+1)}{12}}}=\frac{144.5-\frac{12(12+14+1)}{2}}{\sqrt{\frac{12\times 14(12+14+1)}{12}}}=\frac{144.5-162}{19.44}=-0.90

  (3)統計推斷:因為|Z|<1.96,則應保留虛無假設,拒絕備擇假設。結論是:兩組的演講比賽成績不存在顯著差異。

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評論(共9條)

提示:評論內容為網友針對條目"秩和檢驗"展開的討論,與本站觀點立場無關。
61.144.92.* 在 2013年4月16日 10:05 發表

謝謝,說的簡明

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60.166.5.* 在 2014年1月12日 23:31 發表

謝謝。。。

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121.22.25.* 在 2014年8月9日 10:27 發表

用例子說明秩、秩和、秩和檢驗的基本思想,很淺顯明瞭,初學者理解起來容易懂。

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1.202.236.* 在 2014年8月10日 11:16 發表

深入淺出,很容易理解。

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218.241.201.* 在 2017年6月9日 15:36 發表

十分感謝 很明瞭

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223.99.215.* 在 2018年1月1日 20:09 發表

這是目前我找到的講得最明白的一個

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211.138.10.* 在 2019年11月25日 16:44 發表

當n1和n2相等時求T*時需要註意什麼

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张傲 (討論 | 貢獻) 在 2020年1月30日 16:28 發表

請問:R1+R2的公式是如何推到出來的?謝謝

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125.216.243.* 在 2021年12月24日 20:42 發表

=1+2+...+(n1+n2)

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