概率密度函數

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什麼是概率密度函數

  概率密度函數是指一個描述這個隨機變數的輸出值,在某個確定的取值點附近的可能性的函數。而隨機變數的取值落在某個區域之內的概率則為概率密度函數在這個區域上的積分。當概率密度函數存在的時候,累積分佈函數是概率密度函數的積分。概率密度函數一般以小寫標記。

概率密度函數的常見定義

  對於一維實隨機變數X,設它的累積分佈函數是FX(x)。如果存在可測函數fX(x),滿足:

\forall -\infty<a<\infty, F_X(a)=\int_{-\infty}^{a} f_X(x)dx

  那麼X是一個連續型隨機變數,並且fX(x)是它的概率密度函數。

概率密度函數的性質

  連續型隨機變數的概率密度函數有如下性質:

  • \forall -\infty<x<\infty, f_X(x)\ge0
  • \int_{-\infty}^{\infty}f_{X}(x)dx=1
  • \forall -\infty<a<b<\infty, P[a<X\le b]=F_X(b)-F_X(a)=\int_{a}^{b} f_X(x)dx

  如果概率密度函數fX(x)在一點x上連續函數|連續,那麼累積分佈函數導數|可導,並且它的導數:F_X^{\prime}(x)=f_X(x)

  由於隨機變數X的取值P[a<X\le b]只取決於概率密度函數的積分,所以概率密度函數在個別點上的取值並不會影響隨機變數的表現。更準確來說,如果一個函數和X的概率密度函數取值不同的點只有有限個、可數無限個或者相對於整個實數軸來說測度為0(是一個測度|零測集),那麼這個函數也可以是X的概率密度函數。

  連續型的隨機變數取值在任意一點的概率都是0。作為推論,連續型隨機變數在區間上取值的概率與這個區間是開區間還是閉區間無關。要註意的是,概率 \mathbb{P}\left[X=a\right]=0

  但{X = a}並不是不可能事件。

概率密度函數的例子

  最簡單的概率密度函數是連續型均勻分佈|均勻分佈的密度函數。對於一個取值在區間[a,b]上的均勻分佈函數\mathbf{I}_{[a,b]},它的概率密度函數:

f_{\mathbf{I}_{[a,b]}}(x)=\frac{1}{b-a}\mathbf{I}_{[a,b]}

也就是說,當x不在區間[a,b]上的時候,函數值等於0,而在區間[a,b]上的時候,函數值等於\scriptstyle\frac{1}{b-a}。這個函數並不是完全的連續函數,但是是可積函數。

  正態分佈是重要的概率分佈。它的概率密度函數是:

f(x)={1\over\sigma\sqrt{2\pi}}e^{{(x-\mu)^2\over2\sigma^2}}}

  随着参数μσ变化,概率分布也产生变化。

概率密度函数的应用

  随机变量X的n阶矩_(数学)|矩是X的n次方的期望值,即

\mathbb{E}[X^n]=\int_{-\infty}^{\infty}x^nf_X(x)dx

  X的方差为:

\sigma_X^2=\mathbb{E}\left[\left(X-\mathbb{E}[X]\right)^2\right]=\int_{-\infty}^{\infty}(x-E[X])^2f_X(x)dx

  更广泛的说,设g为一个有界函数|有界连续函数|连续函数,那么随机变量g(X)的数学期望

\mathbb{E}[g(X)]=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f_X(x)dx

概率密度函数的特征函数

  对机率密度函数作类似傅立叶变换可得特征函数(概率论)。

\Phi_X(jw)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{jwx}dx

  特征函数与机率密度函数有一对一的关系。因此,知道一个分布的特征函数就等同于知道一个分布的机率密度函数。

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評論(共1條)

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Zoe Vi Britannia (討論 | 貢獻) 在 2016年11月10日 11:23 發表

probability density dunction

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