模糊集合
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模糊集合(Fuzzy Sets)
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模糊集合是由在某種程度上屬於它的原素構成的。從隸屬到不隸屬的轉變,不像普通集合那樣是硬性的,而是軟性的。同樣,模糊邏輯的對象是不明確的真理,模糊聯結詞和推論規則與古典的二值邏輯是對立的。
給定一個論域 U ,那麼從 U 到單位區間 [0,1] 的一個映射
稱為 U 上的一個模糊集合,或 U 的一個模糊子集,
要註意,嚴格地說,模糊集合或子集是映射所確定的序對集,但由於模糊子集完全由其隸屬函數所確定,因而我們不區分映射和映射所確定的序對集,而總是直接把模糊子集定義為一個滿足上述定義的映射。
模糊集合可以記為 A 。
映射(函數) μA(·) 或簡記為 A(·) 叫做模糊集合 A 的隸屬函數。
對於每個 x ∈ U , μA(x) 叫做元素 x 對模糊集合 A 的隸屬度。
模糊集合的常用表示法有下述幾種:
解析法,也即給出隸屬函數的具體表達式。
Zadeh 記法,例如。分母是論域中的元素,分子是該元素對應的隸屬度。有時候,若隸屬度為0,該項可以忽略不寫。
序偶法,例如A = {(x1,1),(x2,0.5),(x3,0.72),(x4,0)},序偶對的前者是論域中的元素,後者是該元素對應的隸屬度。
向量法,在有限論域的場合,給論域中元素規定一個表達的順序,那麼可以將上述序偶法簡寫為隸屬度的向量式,如 A = (1,0.5,0.72,0) 。
Zadeh 運算元,max 即為並,min 即為交
代數運算元(概率和、代數積)
有界運算元
Einstein 運算元
Hamacher 運算元,其中ν ∈ [0,+∞) 是參數,等於1時轉化為代數運算元,等於2時轉化為 Einstein 運算元
Yager 運算元,其中 p 是參數,等於1時轉化為有界運算元,趨於無窮時轉化為 Zadeh 運算元
aYpb = min1,(ap + bp)1 / p
aypb = 1 − min1,[(1 − a)p + (1 − b)p]1 / p
λ-γ 運算元,其中 λ,γ∈ [0,1] 是參數
Dobois-Prade 運算元,其中 λ ∈ [0,1] 是參數
主要運算元的性質對比表如下(.
表示不滿足,-
表示未驗證):
運算元 | 結合律 | 交換律 | 分配律 | 互補律 | 同一律 | 冪等律 | 支配律 | 吸收律 | 雙重否定律 | 德·摩根律 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Zedah | √ | √ | √ | . | √ | √ | √ | √ | √ | √ |
代數 | √ | √ | . | . | √ | . | √ | . | - | √ |
有界 | √ | √ | . | √ | √ | . | √ | √ | - | √ |
線性補償是指:
運算元的並運算 | 冪等律 | 排中律 | 分配律 | 結合律 | 線性補償 |
---|---|---|---|---|---|
Zadeh | √ | . | √ | √ | . |
代數 | . | . | . | √ | . |
有界 | . | √ | . | . | √ |
Hamacher r = 0 | . | . | . | √ | . |
Yager | . | . | . | √ | . |
Hamacher | . | . | . | √ | . |
Dobois-Prade | . | . | . | √ | . |
可以使用一般的度量理論來描述模糊集合之間的距離。在這個意義上,我們需要在模糊冪集 F(U) 上建立一個度量,此外,我們還可能需要將此度量標準化,也即映射到 [0,1] 區間上。例如可以這樣來標準化 Minkowski 距離:
另一種是使用貼近度概念。在某種意義上,貼近度就是 1 - 距離(這裡的距離是上述標準化意義上的距離)。而之所以應用這個變換,是考慮到“度”的概念的直覺反映——距離越近,貼近的程度顯然越“高”,因此它恰為距離的反數。
除了距離外,還有一些與模糊集合的特殊操作有關係的貼近度定義。
最大最小貼近度
算術平均最小貼近度
幾何平均最小貼近度
指數貼近度
模糊集合的模糊度
一個模糊集合 A 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度,一個直觀的定義是這樣的:
設映射 D : F(U) → [0,1] 滿足下述5條性質:
清晰性:D(A) = 0 當且僅當 A ∈ P(U)。(經典集的模糊度恆為0。)
模糊性:D(A) = 1 當且僅當 ∀ u ∈ U 有 A(u) = 0.5。(隸屬度都為0.5的模糊集合最模糊。)
單調性:∀ u ∈ U,若 A(u) ≤ B(u) ≤ 0.5,或者 A(u) ≥ B(u) ≥ 0.5,則 D(A) ≤ D(B)。
對稱性:∀ A ∈ F(U),有 D(Ac) = D(A)。(補集的模糊度相等。)
可加性:D(A∪B) + D(A∩B)=D(A) + D(B)。
則稱 D 是定義在 F(U) 上的模糊度函數,而 D(A) 為模糊集合 A 的模糊度。
可以證明符合上述定義的模糊度是存在的[2],一個常用的公式(分別針對有限和無限論域)就是
其中 p > 0 是參數,稱為 Minkowski 模糊度。特別地,當 p = 1 的時候稱為 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指標,當 p = 2 的時候稱為 Euclid 模糊度。