模糊集合

用手机看条目

出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

模糊集合(Fuzzy Sets)

目錄

什麼是模糊集合

  模糊集合是由在某種程度上屬於它的原素構成的。從隸屬到不隸屬的轉變,不像普通集合那樣是硬性的,而是軟性的。同樣,模糊邏輯的對象是不明確的真理,模糊聯結詞和推論規則與古典的二值邏輯是對立的。

  給定一個論域 U ,那麼從 U 到單位區間 [0,1] 的一個映射

  \mu_{A}: U \mapsto [0,1]

  稱為 U 上的一個模糊集合,或 U 的一個模糊子集,

  要註意,嚴格地說,模糊集合或子集是映射所確定的序對集,但由於模糊子集完全由其隸屬函數所確定,因而我們不區分映射和映射所確定的序對集,而總是直接把模糊子集定義為一個滿足上述定義的映射。

  模糊集合可以記為 A 。

  映射(函數) μA(·) 或簡記為 A(·) 叫做模糊集合 A 的隸屬函數。

  對於每個 x ∈ U , μA(x) 叫做元素 x 對模糊集合 A 的隸屬度。

  模糊集合的常用表示法有下述幾種:

  解析法,也即給出隸屬函數的具體表達式。

  Zadeh 記法,例如A={1\over x_1}+{0.5\over x_2}+{0.72\over x_3}+{0\over x_4}。分母是論域中的元素,分子是該元素對應的隸屬度。有時候,若隸屬度為0,該項可以忽略不寫。

  序偶法,例如A = {(x1,1),(x2,0.5),(x3,0.72),(x4,0)},序偶對的前者是論域中的元素,後者是該元素對應的隸屬度。

  向量法,在有限論域的場合,給論域中元素規定一個表達的順序,那麼可以將上述序偶法簡寫為隸屬度的向量式,如 A = (1,0.5,0.72,0) 。

模糊集合的運算

各種運算元

  Zadeh 運算元,max 即為並,min 即為交

  a\vee b=max(a,b)

  a\wedge b=min(a,b)

  代數運算元(概率和、代數積)

  a\stackrel{\wedge}{+} b =a+b-ab

  a\cdot b = ab

  有界運算元

  a\oplus b =min(1,a+b)

  a\dot b = max(0,a+b-1)

  Einstein 運算元

  a\stackrel{+}{\epsilon} b = \frac{a+b}{1+ab}

  a\stackrel{\cdot}{\epsilon} b = \frac{ab}{1+(1-a)(1-b)}

  Hamacher 運算元,其中ν ∈ [0,+∞) 是參數,等於1時轉化為代數運算元,等於2時轉化為 Einstein 運算元

  a\stackrel{+}{\nu} b = \frac{a+b-ab-(1-\nu)ab}{\nu+(1-\nu)(1-ab)}

  a\stackrel{\cdot}{\nu} b = \frac{ab}{\nu+(1-\nu)(a+b-ab)}

  Yager 運算元,其中 p 是參數,等於1時轉化為有界運算元,趨於無窮時轉化為 Zadeh 運算元

  aYpb = min1,(ap + bp)1 / p

  aypb = 1 − min1,[(1 − a)p + (1 − b)p]1 / p

  λ-γ 運算元,其中 λ,γ∈ [0,1] 是參數

  a\;\lambda\;b = \lambda ab+(1-\lambda)(a+b-ab)

  a\;\gamma\;b = (ab)^{1-\gamma}(a-ab)^\gamma

  Dobois-Prade 運算元,其中 λ ∈ [0,1] 是參數

  a\vee_d b = \frac{a+b-ab-min{(1-\lambda),a,b}}{max(\lambda,1-a,1-b)}

  a\wedge_d b = \frac{ab}{max(\lambda,a,b)}

運算元的性質

  主要運算元的性質對比表如下(.表示不滿足,-表示未驗證):

運算元結合律交換律分配律互補律同一律冪等律支配律吸收律雙重否定律德·摩根律
Zedah .
代數 . . . . -
有界 . . -

  線性補償是指:

(\forall x,y,k \in [0,1])(x+k \wedge y-k\ \Rightarrow\ U(x+k,y-k)=U(x,y))[1]

運算元的並運算冪等律排中律分配律結合律線性補償
Zadeh . .
代數 . . . .
有界 . . .
Hamacher r = 0 .. . .
Yager .. . .
Hamacher .. . .
Dobois-Prade .. . .

模糊集合之間的距離

使用度量理論

  可以使用一般的度量理論來描述模糊集合之間的距離。在這個意義上,我們需要在模糊冪集 F(U) 上建立一個度量,此外,我們還可能需要將此度量標準化,也即映射到 [0,1] 區間上。例如可以這樣來標準化 Minkowski 距離:

  \tilde{d}(x,y)=\left({1\over n}\sum\limits_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1\over p}

貼近度

  另一種是使用貼近度概念。在某種意義上,貼近度就是 1 - 距離(這裡的距離是上述標準化意義上的距離)。而之所以應用這個變換,是考慮到“度”的概念的直覺反映——距離越近,貼近的程度顯然越“高”,因此它恰為距離的反數。

  除了距離外,還有一些與模糊集合的特殊操作有關係的貼近度定義。

  最大最小貼近度

  \displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\vee B(u_i))}

  算術平均最小貼近度

  \displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{{1\over 2}\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)+B(u_i))}

  幾何平均最小貼近度

  \displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}\sqrt{A(u_i)\cdot B(u_i)}}

  指數貼近度

  \displaystyle \sigma(A,B)=\frac{1}{e^{\|A-B\|}}

  模糊集合的模糊度

  一個模糊集合 A 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度,一個直觀的定義是這樣的:

  設映射 D : F(U) → [0,1] 滿足下述5條性質:

  清晰性:D(A) = 0 當且僅當 A ∈ P(U)。(經典集的模糊度恆為0。)

  模糊性:D(A) = 1 當且僅當 ∀ u ∈ U 有 A(u) = 0.5。(隸屬度都為0.5的模糊集合最模糊。)

  單調性:∀ u ∈ U,若 A(u) ≤ B(u) ≤ 0.5,或者 A(u) ≥ B(u) ≥ 0.5,則 D(A) ≤ D(B)。

  對稱性:∀ A ∈ F(U),有 D(Ac) = D(A)。(補集的模糊度相等。)

  可加性:D(A∪B) + D(A∩B)=D(A) + D(B)。

  則稱 D 是定義在 F(U) 上的模糊度函數,而 D(A) 為模糊集合 A 的模糊度。

  可以證明符合上述定義的模糊度是存在的[2],一個常用的公式(分別針對有限和無限論域)就是

  D_p(A)=\frac{2}{n^{1/p}}\left(\sum\limits_{i=1}^n\left|A(u_i)-A_{0.5}(u_i)\right|^p\right)^{1/p}

  D(A)=\int_{-\infty}^{+\infty}|A(u)-A_{0.5}(u)|\mbox{d}u

  其中 p > 0 是參數,稱為 Minkowski 模糊度。特別地,當 p = 1 的時候稱為 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指標,當 p = 2 的時候稱為 Euclid 模糊度。

參考文獻

  1. Etienne E.Kerre等,模糊集合理論與近似推理[C],武漢大學出版社,2004年,第103頁。
  2. 陳水利等,模糊集合理論及其應用[C],科學出版社,2005年,第20頁。
本條目對我有幫助4
MBA智库APP

扫一扫,下载MBA智库APP

分享到:
  如果您認為本條目還有待完善,需要補充新內容或修改錯誤內容,請編輯條目

本条目由以下用户参与贡献

Tracy.

評論(共0條)

提示:評論內容為網友針對條目"模糊集合"展開的討論,與本站觀點立場無關。

發表評論請文明上網,理性發言並遵守有關規定。

打开APP

以上内容根据网友推荐自动排序生成