ELES模型

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ELES模型(Extend Linear Expenditure System，扩展线性支出系统模型)

什么是ELES模型?

　　扩展线性支出系统模型(Extend Linear Expenditure System，ELES)是经济学家Luch于1973年在美国经济计量经济学家Stone的线性支出系统模型的基础上推出的一种需求函数系统。

　　该系统假定某一时期人们对各种商品(服务)的需求量取决于人们的收入和各种商品的价格，而且人们对各种商品的需求分为基本需求和超过基本需求之外的需求两部分，并且认为基本需求与收入水平无关，居民在基本需求得到满足之后才将剩余收入按照某种边际消费倾向安排各种非基本消费支出。

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ELES模型计算公式

　　假设将人们的消费支出具体划分为I类，则各类商品的消费支出可以用模型表示为：

　　 $\mathbf{V_i=P_iq_i+b_i(Y-V_0)}$ (1)

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　　其中，

Vi是对第I类商品的消费支出，
Pi和qi分别为第I类商品的价格和基本需求量，
bi为边际消费倾向，
$V 0$ 为基本需求总支出，
Y为收入水平。

　　该模型即为“扩展线性支出系统模型”（ELES模型）。

　　如果样本数据为横截面数据，则可以设：

　　 $\mathbf{a_i=P_iq_i-b_iV_0}$ (2)

　　则模型（1）可以表示为：

　　 $\mathbf{V_i=a_i+b_iY}$ (3)

　　对公式（2）两端求和得：

　　 $\mathbf{V_0=\sum a_i/(1-\sum b_i)}$ (4)

　　由公式（2）也可以得出：

　　 $\mathbf{P_iq_i=a_i +b_iV_0 \qquad (i=1,2,3,...m)}$ (5)

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ELES模型的理论分析

　　在消费结构分析中，目前通常采用的是恩格尔函数（Engel function）和扩展线性支出系统（Extended Liner Expenditure System , 简称ELES）模型，二者在形式和内涵上都有非常密切的联系。ELES模型的突出优点在于：它考虑了收入和价格因素对居民消费结构的影响，把居民的各项消费支出看作是相互联系、相互制约的行为，在没有价格资料的情况下，也能根据截面数据资料估计出各种商品的基本需求支出，进行需求结构估算，可以计算出收入弹性，进行需求弹性分析。

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直接效用函数

　　1947年，L.R.Clein和H.Rubin提出如下形式的直接效用函数：

　　 $\mathbf{U=\sum_{i=1}^n u_i(q_i)=\sum_{i=1}^n b_i\ln(q_i-r_i)}$ （1）

　　（1）式中，

U表示效用；
$\mathbf{q_i}$ 表示第i种商品的实际需求量；
$\mathbf{r_i}$ 表示可维持生活的第i种商品的基本需求量；
$\mathbf{b_i}$ 为加权参数，表示消费者对第i种商品的边际预算份额；

　　其中，

　　 $\mathbf{q_i>r_i>0}$ ， $\sum_{i}^n b_i=1$ ,且 $\mathbf{1>b_i>0}$ 。该效用函数认为，效用具有可加性，且各种商品的效用取决于实际需求量与基本需求量之差。

　　另外，消费面临的预算约束函数为：

 $\sum_{i=1}^n p_i q_i=V$ （2）

　　（2）式中，

$\mathbf{p_i}$ 表示第i种商品的价格；
$\mathbf{q_i}$ 表示第i种商品的实际需求量；
V表示预算总支出；

　　该函数表明，一个理性消费者用于购买消费品的支出会在其预算约束之内。

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线性支出系统（LES）模型

　　1954年，英国计量经济学家R.Stone以该直接效用函数为基础，提出了线性支出系统函数（LES），在预算约束 $\sum_{i=1}^n p_i q_i=V$ 的条件下，极大化直接效用函数，即：

　　MAX　　　 $\mathbf{U=\sum_{i=1}^n b_i\ln(q_i-r_i)}$

　　s.t.　　 $V=\sum_{i=1}^n p_i q_i$

　　运用“拉格朗日乘数法”进行求解，就得到线性支出系统（LES）模型为：

　　 $\mathbf{p_i q_i=p_i r_i+b_i(V-\sum_{i=1}^n p_i r_i)}$ (3)

　　（3）式表明，消费者对第i种消费品的消费支出为两部分之和，第一部分为维持生活的基本消费支出，第二部分为总预算中扣除基本消费支出后对第i种消费品的支出。但是，LES模型存在以下两个缺陷：一是它没有考虑到居民把基本消费支出后的余额用于储蓄或投资的因素；二是总预算V是对所有商品需求支出之和，为内生变量，无法外生给出，因而模型难以估计。基于以上两点缺陷，LES模型并没有在实证中得到广泛应用。

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扩展线型线型支出系统模型（ELES）

　　1973年，经济学家Luich对LES模型做了两点修改，提出了扩展线型线型支出系统模型（ELES）。用消费者的收入水平I代替了预算总支出V，用边际消费倾向 $β i$ 代替了边际预算份额 $b i$ ，模型变为：

　　 $\mathbf{p_i q_i=p_i r_i+\beta_i(I-\sum_{i=1}^n p_i r_i)}$ (4)

　　该模型表明，在一定收入和价格水平之下，消费者首先满足其对某种商品或劳务的基本需求 $\mathbf{p_i r_i}$ ，在余下的收入 $I-\sum_{i=1}^n p_i r_i$ 中，按照 $β i$ 的比例在消费第i种商品和储蓄之间进行分配，消费者的边际储蓄倾向为 $1-\sum_{i=1}^n\beta_i$ ，且有 $\mathbf{0<\beta_i<0}$ ， $\sum_{i=1}^n\beta_i\le 0$ 。

　　对（4）式进行处理，写作：

$\mathbf{p_i q_i=(p_i r_i-\beta_i\sum_{i=1}^n p_i r_i)+\beta_i I}$ (5)

　　采用截面数据时，（5）式中的 $\mathbf{p_i r_i}$ 和 $\sum_{i=1}^n p_i r_i$ 都是不变的常数，从而可以令

　　 $\mathbf{\alpha_i=(p_i r_i-\beta_i\sum_{i=1}^n p_i r_i)}$ (6)

令 $\mathbf{C_i=p_i q_i}$ 表示居民对第i种商品的实际消费额。则（5）式可以改写成计量经济模型：

　　 $\mathbf{C_i=\alpha_i+\beta_i I+u_i}$ （7）

其中， $\mathbf{\alpha_i}$ 和 $\mathbf{\beta_i}$ 为待估参数， $\mathbf{u_i}$ 为随机扰动项。对（7）式采用最小二乘估计，得到参数估计值 $\hat{\alpha_i}$ 和 $\hat{\beta_i}$ ，然后根据定义： $\alpha_i=(p_i r_i-\beta_i\sum_{i=1}^n p_i r_i)$ (6)，对该式两边求和，得到：