譜分析
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譜分析（Spectral Analysis）
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什麼是譜分析[1]
譜分析是對一個或多個時間序列對應的“譜”、“增益”、“相關性”進行估計，然後運用估計值分析存在於時間序列的行為的過程。
時間序列的譜是用來說明一個特定的時間序列由於周期的頻率不同而產生的變化的數學公式。可以用以下事實來闡述:在每個月15個迴圈的頻率下，道瓊斯工業平均指數的變化為35%，在每個月8個迴圈的頻率下，道瓊斯工業平均指數的變化為50%;在每個月3個迴圈的頻率下，道瓊斯工業平均指數變化為15%。在這個例子中，道瓊斯時間序列的譜將會是表示這些百分數的數學公式。
與兩個時間序列相關的增益是用來表示一個時間序列的周期性分量對另一個時間序列的(具有相同頻率的)周期性分量的影響的數學公式。譬如，道瓊斯工業平均指數的不同是三種周期相互作用的結果，第一個頻率為一個月20個迴圈，第二個頻率為一個月8個迴圈，第只個頻率為一個月5個迴圈。另外，國庫券利率的變化也歸因於三種周期的相互作用，第一個頻率為一個月20個迴圈，第二個頻率為一個月8個迴圈，第三個頻率一個月5個迴圈。如果0.90是國庫券利率時間序列關於道瓊斯工業平均指數序列在頻率為一個月20個迴圈時的增益，那麼，這將表明，道瓊斯工業平均指數時間序列的“每個月20個迴圈”的周期性分量振幅悔增加1個單位，將會導致國庫券利率時間序列的同樣迴圈頻率的周期性分量的振幅(平均)增加0.90個單位。如果1.45是國庫券利率時間序列關於道瓊斯工業平均指數序列在頻率為每個月8個迴圈時的增益，那麼，這將表明，道瓊斯工業平均指數時間序列的“每個月8個迴圈”的周期性分量振幅每增加1個單位，將會導致國庫券利率時間序列的同樣迴圈頻率的周期性分最的振蝠(平均)增加1.45個單位。
兩個時間序列的相關性是表示一個時間序列的周期性分量與另一個時間序列的(具有相同頻率的)周期性分量的相關程度的數學公式。在任何特定的頻率下，相關性的值都處於0和1之間。一個時間序列的周期性分最與另一個時間序列的(具有相同頻率的)周期性分最聯繫越密切，二者之間的相關性(在這個頻率下)的值越接近於1。如果一個時間序列的周期性分量與另一個時間序列的(具有相同頻率的)周期性分量完全沒有聯繫，那麼二者之間的相關性(在這個頻率下)的值將為0。
如果知道時間序列的譜，以及與兩個時間序列相關聯的增益和相關性的值，這將會為經濟分析提供有價值的信息。例如，如果道瓊斯工業平均指數的譜表明這個時間序列中的大部分變化都歸因於高頻率(即短波長)的周期，那麼可以預測，道瓊斯工業平均指數將會出現短期波動。第二個例子，如果關於這個星期的美國國庫券利率和下個星期的道瓊斯工業平均指數(在所有頻率時)的增益在2.3到2.5之間，那麼如果這個星期的國庫券利率變化1個單位，下個星期的道瓊斯工業平均指數將會隨之(平均)變化2.3到2.5個單位。第三個例子，如果關於這個星期美國國庫券利率和下個星期道瓊斯工業平均指數(在所有頻率時)的相關性是0.95，那麼國庫券利率和道瓊斯工業,平均指數將會高度相關。
不幸的是，有兩個問題會成為計算時間序列譜、增益和相關性的障礙。第一個問題在於經濟時間序列中(離散時間間隔中)僅僅有一部分的觀察值是可以獲得的，並且無法保存關於所有時間序列的行為的連續記錄。如果短波長周期的波長小於觀察數據所在時間間隔，那麼其影響將是無法確定的。例如，因為消費者價格指數只能一個月觀察一次，所以波長小於一個月的周期對價格指數的精確影響是不能確定的。第二個問題是影響每一個觀察值的隨機擾動。這些隨機擾動使在每個時間點的時間序列的觀察值都和周期的聯合所產生的值不同。
因為譜、增益和相關性不能被精確地計算出來，從而必須用所關心的時間序列的觀察值來進行估計。然而，估計過程所用到的數學是非常複雜的，並且需要深人進行討論來給子最好的解釋。一旦譜、增益和相關性的值被估計出來，這些估計值就可以被用來分析那些用來估計它們的時間序列。
譜分析的應用[2]
譜、增益、相關性的估計值可以分析那些用來估計它們的時間序列中存在的行為。
對一個特定的時間序列對應的譜的估計，表示時間序列總的變化的大概比例，這種變化歸因於每一種不同頻率的周期。因此，譜的估計值可以用來確定一個特定的時間序列是由一個低頻率、中頻率還是高頻率的周期支配。在低頻率下估計出大量的高譜值表明低頻率周期占支配地位(即時間序列的大部分變化是歸因於低頻率周期的)。同樣，在中頻率下估計出大量的高譜值表明中頻率周期占支配地位(即時間序列的大部分變化是歸因於中頻率周期的)。在高頻率下估計出大量的高譜值表明高頻率周期占支配地位(即時間序列的大部分變化是歸因於高頻率周期的)。
因為與特定時間序列對應的譜的估計值說明瞭時間序列總體變化的大概比例，這種變化歸因於各種不同頻率的周期，所以譜的估計值可以用來確定是否少量的周期著支配著特定的時間序列。如果估計的譜在其中幾個頻率下呈現(相對)高的值，而在所有其他的頻率下呈現(相對)低的值，那麼可以得出以下結論:少數那幾個頻率的周期支配著時間序列。例如，鄒至莊發現個人消費支出、新消費支出、20年期公司債券收益和美國國民收入的譜的估計值在低頻率下呈現出較高的值。事實上，估計的譜值表明時間序列的50%的變化都歸因於頻率為每年16個迴圈的周期。另外，所有這些譜值在高頻率下單調平滑地下降到低水平。所以，這些譜值表明低頻率(即長波長)周期支配著這些時間序列。另外，因為估計的譜值在高頻率下單調平滑地下降到一個低的水平，所以估計的譜值表明時間序列不是由少量的不同頻率的周期支配的。
譜分析的相關內容[3]
一般來說，譜分析是從19世紀開始的，從那時起，研究者們開始尋找隱藏在數據背後的周期性的迴圈。例如，在1870年，威廉·亨利·貝弗里奇(William Henry Beverage，1879-1963)探索研究了從1500年到1869年這一時期的小麥價格的周期。A.舒斯特也探索研究了19世紀末經濟和物理數據中隱藏的周期。然而，譜估計的創始性的研究是在20世紀50年代由M.S.巴特利特(M.S.Bartlett)、R.B.布萊克曼(R.B.Blackman)和約翰·W·圖基(John W.Tukey)率先開展的。從此，譜分析被廣泛地運用於經濟學、電子工程、物理學和氣象學。
經濟學家採用譜分析是因為他們試圖找到一種可以使他們確定從現實世界採集到的數據是否支持經濟理論的技術。估計的增益和相關性為實現這一目標提供了一條途徑。經濟學家和數學家正在試圖改進譜技術。例如，調查人員已經提出了有關譜的置信區間的概念。置信區間是這樣一個區間，調查人員確信此區間包含著所研究實體的真實取值。如果在頻率為1/2時，美國國民生產總值的譜的“90%的置信區間”為0.13到0. 19,那麼，調查人員就會有90%的信心認為在頻率為1/2時，譜值處於0.13到0.19之間。經濟學家和數學家還試圖研究出用來估計譜、增益和相關性的更好的方法。
隨著經濟學家在20世紀60年代和70年代更加傾向於運用數學分析，潛分析與其他統計方法例如指數平滑法、移動平均法、博克斯-詹金斯(Box-Jenkins)法、回歸分析法和持續時間法形成了競爭。在將來，潛分析在統計數據經濟分析上的重要性將會下降。由於回歸分析在描述經濟動因和影響上比譜分析更直接一些，所以似乎更多的經濟學家更青睞回歸分析而不是譜分析。這是因為每一個回歸繫數都表示一個經濟變數的變化對另一個經濟變數的影響程度。相比之下，潛分析的方法只能提供關於一個時間序列周期和另一個(具有相同頻率的)時間序列周期的相關程度的信息。可以用這種信息來獲得一個經濟變數的變化對另一個經濟變數的近似影響。譜分析不能直接提供這種信息，而回歸分析卻能夠直接提供這種信息。
- ↑ Anderson, Theodore W. The Statistical Analysis of Time Series. New York: John Willey & Sons,1971.
- ↑ Chatfield, Christopher. The Analysis of Time Series: An Introduction. 4th ed. New York: Chapman and Hall,1989.
- ↑ Judge，George G.，W.Griffiths, R.Hill, H.Lutkepohl, and T.Lee. The Theory and Practice of Econometrics. 2d ed. New York: John Wiley & Sons,1985.
