質數

出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

質數(prime number)

　　質數又稱素數，有無限個。一個大於1的自然數，除了1和它本身外，不能被其他自然數(質數)整除，換句話說就是該數除了1和它本身以外不再有其他的因數；否則稱為合數。

　　根據算術基本定理，每一個比1大的整數，要麼本身是一個質數，要麼可以寫成一系列質數的乘積；而且如果不考慮這些質數在乘積中的順序，那麼寫出來的形式是唯一的。最小的質數是2。

　　目前為止，人們未找到一個公式可求出所有質數。

　　質數的個數是無窮的。歐幾裡得的《幾何原本》中有一個經典的證明。它使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設質數只有有限的n個，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設N=p1×p2×……×pn，那麼，N+1是素數或者不是素數。

　　如果N+1為素數，則N+1要大於p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設的素數集合中。

　　如果N+1為合數，因為任何一個合數都可以分解為幾個素數的積；而N和N+1的最大公約數是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數分解得到的素因數肯定不在假設的素數集合中。

　　因此無論該數是素數還是合數，都意味著在假設的有限個素數之外還存在著其他素數。所以原先的假設不成立。也就是說，素數有無窮多個。

　　其他數學家給出了一些不同的證明。歐拉利用黎曼函數證明瞭全部素數的倒數之和是發散的，恩斯特·庫默的證明更為簡潔，HillelFurstenberg則用拓撲學加以證明。

　　質數具有許多獨特的性質：

　　(1)質數p的約數只有兩個：1和p。

　　(2)初等數學基本定理：任一大於1的自然數，要麼本身是質數，要麼可以分解為幾個質數之積，且這種分解是唯一的。

　　(3)質數的個數是無限的。

　　(4)質數的個數公式π(n) 是不減函數。

　　(5)若n為正整數,在n²到(n + 1)²之間至少有一個質數。

　　(6)若n為大於或等於2的正整數，在n到n!之間至少有一個質數。

　　(7)若質數p為不超過n( )的最大質數，則 。

　　1.在一個大於1的數a和它的2倍之間(即區間(a, 2a]中)必存在至少一個素數。

　　2.存在任意長度的素數等差數列。(格林和陶哲軒，2004年[1] )

　　3.一個偶數可以寫成兩個質數之和，其中每一個數字都最多只有9個質因數。(挪威數學家布朗，1920年)

　　4.一個偶數必定可以寫成一個質數加上一個合成數，其中的因數個數有上界。(瑞尼，1948年)

　　5.一個偶數必定可以寫成一個質數加上一個最多由5個因數所組成的合成數。後來，有人簡稱這結果為 (1 + 5) (中國潘承洞，1968年)

　　6.一個充分大偶數必定可以寫成一個素數加上一個最多由2個質因數所組成的合成數。簡稱為 (1 + 2) (中國陳景潤)

　　質數被利用在密碼學上，所謂的公鑰就是將想要傳遞的信息在編碼時加入質數，編碼之後傳送給收信人，任何人收到此信息後，若沒有此收信人所擁有的密鑰，則解密的過程中(實為尋找素數的過程)，將會因為找質數的過程(分解質因數)過久，使即使取得信息也會無意義。

　　在汽車變速箱齒輪的設計上，相鄰的兩個大小齒輪齒數最好設計成質數，以增加兩齒輪內兩個相同的齒相遇嚙合次數的最小公倍數，可增強耐用度減少故障。

　　在害蟲的生物生長周期與殺蟲劑使用之間的關係上，殺蟲劑的質數次數的使用也得到了證明。實驗表明，質數次數地使用殺蟲劑是最合理的：都是使用在害蟲繁殖的高潮期，而且害蟲很難產生抗藥性。

　　以質數形式無規律變化的導彈和魚雷可以使敵人不易攔截。

　　多數生物的生命周期也是質數(單位為年)，這樣可以最大程度地減少碰見天敵的機會。