质数

用手机看条目

出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

质数(prime number)

目录

什么是质数

  质数又称素数,有无限个。一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数(质数)整除,换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。

  根据算术基本定理,每一个比1大的整数,要么本身是一个质数,要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序,那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。

  目前为止,人们未找到一个公式可求出所有质数。

质数的个数

  质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法:反证法。具体证明如下:假设质数只有有限的n个,从小到大依次排列为p1,p2,……,pn,设N=p1×p2×……×pn,那么,N+1是素数或者不是素数。

  如果N+1为素数,则N+1要大于p1,p2,……,pn,所以它不在那些假设的素数集合中。

  如果N+1为合数,因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积;而N和N+1的最大公约数是1,所以N+1不可能被p1,p2,……,pn整除,所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。

  因此无论该数是素数还是合数,都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说,素数有无穷多个。

  其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的,恩斯特·库默的证明更为简洁,HillelFurstenberg则用拓扑学加以证明。

质数的性质

  质数具有许多独特的性质:

  (1)质数p的约数只有两个:1和p。

  (2)初等数学基本定理:任一大于1的自然数,要么本身是质数,要么可以分解为几个质数之积,且这种分解是唯一的。

  (3)质数的个数是无限的。

  (4)质数的个数公式π(n) 是不减函数。

  (5)若n为正整数,在n2(n + 1)2之间至少有一个质数。

  (6)若n为大于或等于2的正整数,在n到n!之间至少有一个质数。

  (7)若质数p为不超过n(n\ge4 )的最大质数,则p>\frac{n}{2}

质数的相关定理

  1.在一个大于1的数a和它的2倍之间(即区间(a, 2a]中)必存在至少一个素数。

  2.存在任意长度的素数等差数列。(格林和陶哲轩,2004年[1] )

  3.一个偶数可以写成两个质数之和,其中每一个数字都最多只有9个质因数。(挪威数学家布朗,1920年)

  4.一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数,其中的因子个数有上界。(瑞尼,1948年)

  5.一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来,有人简称这结果为 (1 + 5) (中国潘承洞,1968年)

  6.一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为 (1 + 2) (中国陈景润)

质数的应用

  质数被利用在密码学上,所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数,编码之后传送给收信人,任何人收到此信息后,若没有此收信人所拥有的密钥,则解密的过程中(实为寻找素数的过程),将会因为找质数的过程(分解质因数)过久,使即使取得信息也会无意义。

  在汽车变速箱齿轮的设计上,相邻的两个大小齿轮齿数最好设计成质数,以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数,可增强耐用度减少故障。

  在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上,杀虫剂的质数次数的使用也得到了证明。实验表明,质数次数地使用杀虫剂是最合理的:都是使用在害虫繁殖的高潮期,而且害虫很难产生抗药性。

  以质数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截。

  多数生物的生命周期也是质数(单位为年),这样可以最大程度地减少碰见天敌的机会。

本条目对我有帮助17
MBA智库APP

扫一扫,下载MBA智库APP

分享到:
  如果您认为本条目还有待完善,需要补充新内容或修改错误内容,请编辑条目投诉举报

本条目由以下用户参与贡献

Mis铭.

评论(共0条)

提示:评论内容为网友针对条目"质数"展开的讨论,与本站观点立场无关。

发表评论请文明上网,理性发言并遵守有关规定。

打开APP

以上内容根据网友推荐自动排序生成

闽公网安备 35020302032707号