泊松過程

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泊松過程(Poisson process)

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什麼是泊松過程

  泊松過程是指一種累計隨機事件發生次數的最基本的獨立增量過程。例如隨著時間增長累計某電話交換台收到的呼喚次數,就構成一個泊松過程。泊松過程是由法國著名數學家泊松(1781—1840)證明的。1943年C.帕爾姆在電話業務問題的研究中運用了這一過程,後來Α.Я.辛欽於50年代在服務系統的研究中又進一步發展了它。

泊松過程的內容

  泊松過程是隨機過程的一種,是以事件的發生時間來定義的。我們說一個 隨機過程 N(t) 是一個時間齊次的一維泊松過程,如果它滿足以下條件:

  在兩個互斥(不重迭)的區間內所發生的事件的數目是互相獨立的隨機變數

  在區間[t,t + τ]內發生的事件的數目標機率分佈為:

  P [(N(t+ \tau) - N(t)) = k] = \frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots

  其中λ是一個正數,是固定的參數,通常稱為抵達率(arrival rate)或強度(intensity)。所以,如果給定在時間區間[t,t + τ]之中事件發生的數目,則隨機變數N(t + τ) − N(t)呈現泊松分佈,其參數為λτ

  更一般地來說,一個泊松過程是在每個有界的時間區間或在某個空間(例如:一個歐幾裡得平面或三維的歐幾裡得空間)中的每一個有界的區域,賦予一個隨機的事件數,使得

  在一個時間區間或空間區域內的事件數,和另一個互斥(不重迭)的時間區間或空間區域內的事件數,這兩個隨機變數是獨立的。

  在每一個時間區間或空間區域內的事件數是一個隨機變數,遵循泊松分佈。(技術上而言,更精確地來說,每一個具有有限測度的集合,都被賦予一個泊松分佈的隨機變數。)

  考慮一個泊松過程,我們將第一個事件到達的時間記為T1。此外,對於n>1,以Tn記在第n-1個事件與第n個事件之間用去的時間。序列{Tn,n=1,2,...}稱為到達間隔時間列。

   Tn(n=1,2,...)是獨立同分佈的指數隨機變數,具有均值1/λ。

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評論(共3條)

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130.233.77.* 在 2015年5月20日 21:05 發表

泊松分佈的用途是什麼呢?

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121.33.48.* 在 2015年12月11日 15:44 發表

現實中很多現象都滿足泊松分佈,泊松分佈一般解決這類問題: counting the number of times a random event occurs in a given amount of time, distance, area, etc. 泊松分佈是二項分佈的極限情況。即n很大,p很小,np=lambda.二項分佈的概率計算很麻煩時,就可以通過近似泊松分佈求解概率。 暫時只知道這麼多,找一兩個實例感受下。

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121.33.48.* 在 2015年12月11日 17:39 發表

能否加入用泊松過程建模處理的一些實例。多謝。

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