泊松過程

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泊松過程(Poisson process)

　　泊松過程是指一種累計隨機事件發生次數的最基本的獨立增量過程。例如隨著時間增長累計某電話交換台收到的呼喚次數，就構成一個泊松過程。泊松過程是由法國著名數學家泊松（1781—1840）證明的。1943年C.帕爾姆在電話業務問題的研究中運用了這一過程，後來Α.Я.辛欽於50年代在服務系統的研究中又進一步發展了它。

　　泊松過程是隨機過程的一種，是以事件的發生時間來定義的。我們說一個 隨機過程 N(t) 是一個時間齊次的一維泊松過程，如果它滿足以下條件：

　　在兩個互斥（不重迭）的區間內所發生的事件的數目是互相獨立的隨機變數。

　　在區間[t,t + τ]內發生的事件的數目標機率分佈為：

　　其中λ是一個正數，是固定的參數，通常稱為抵達率（arrival rate）或強度（intensity）。所以，如果給定在時間區間[t,t + τ]之中事件發生的數目，則隨機變數N(t + τ) − N(t)呈現泊松分佈，其參數為λτ。

　　更一般地來說，一個泊松過程是在每個有界的時間區間或在某個空間（例如：一個歐幾裡得平面或三維的歐幾裡得空間）中的每一個有界的區域，賦予一個隨機的事件數，使得

　　在一個時間區間或空間區域內的事件數，和另一個互斥（不重迭）的時間區間或空間區域內的事件數，這兩個隨機變數是獨立的。

　　在每一個時間區間或空間區域內的事件數是一個隨機變數，遵循泊松分佈。（技術上而言，更精確地來說，每一個具有有限測度的集合，都被賦予一個泊松分佈的隨機變數。）

　　考慮一個泊松過程，我們將第一個事件到達的時間記為T₁。此外，對於n>1，以T_n記在第n-1個事件與第n個事件之間用去的時間。序列{T_n,n=1,2,...}稱為到達間隔時間列。

　　 T_n(n=1,2,...)是獨立同分佈的指數隨機變數，具有均值1/λ。