指數平滑法

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指數平滑法（Exponential Smoothing，ES）

　　指數平滑法是布朗(Robert G..Brown)所提出，布朗(Robert G..Brown)認為時間序列的態勢具有穩定性或規則性，所以時間序列可被合理地順勢推延；他認為最近的過去態勢，在某種程度上會持續到最近的未來，所以將較大的權數放在最近的資料。

　　指數平滑法是生產預測中常用的一種方法。也用於中短期經濟發展趨勢預測，所有預測方法中，指數平滑是用得最多的一種。簡單的全期平均法是對時間數列的過去數據一個不漏地全部加以同等利用；移動平均法則不考慮較遠期的數據，併在加權移動平均法中給予近期資料更大的權重；而指數平滑法則兼容了全期平均和移動平均所長，不捨棄過去的數據，但是僅給予逐漸減弱的影響程度，即隨著數據的遠離，賦予逐漸收斂為零的權數。

　　也就是說指數平滑法是在移動平均法基礎上發展起來的一種時間序列分析預測法，它是通過計算指數平滑值，配合一定的時間序列預測模型對現象的未來進行預測。其原理是任一期的指數平滑值都是本期實際觀察值與前一期指數平滑值的加權平均。

　　指數平滑法的基本公式是： 式中，

• S_t--時間t的平滑值；
• y_t--時間t的實際值；
• S_{t − 1}--時間t-1的平滑值；
• a--平滑常數，其取值範圍為[0,1]；

　　由該公式可知：

　　1.S_t是y_t和 S_{t − 1}的加權算數平均數，隨著a取值的大小變化，決定y_t和 S_{t − 1}對S_t的影響程度，當a取1時，S_t = y_t；當a取0時，S_t = S_{t − 1}。

　　2.S_t具有逐期追溯性質，可探源至S_{t − t + 1}為止，包括全部數據。其過程中，平滑常數以指數形式遞減，故稱之為指數平滑法。指數平滑常數取值至關重要。平滑常數決定了平滑水平以及對預測值與實際結果之間差異的響應速度。平滑常數a越接近於1，遠期實際值對本期平滑值影響程度的下降越迅速；平滑常數a越接近於 0，遠期實際值對本期平滑值影響程度的下降越緩慢。由此，當時間數列相對平穩時，可取較大的a；當時間數列波動較大時，應取較小的a，以不忽略遠期實際值的影響。生產預測中，平滑常數的值取決於產品本身和管理者對良好響應率內涵的理解。

　　3.儘管S_t包含有全期數據的影響，但實際計算時，僅需要兩個數值，即y_t和 S_{t − 1}，再加上一個常數a，這就使指數滑動平均具逐期遞推性質，從而給預測帶來了極大的方便。

　　4.根據公式，當欲用指數平滑法時才開始收集數據，則不存在y₀。無從產生S₀，自然無法據指數平滑公式求出S₁，指數平滑法定義S₁為初始值。初始值的確定也是指數平滑過程的一個重要條件。

　　如果能夠找到y1以前的歷史資料，那麼，初始值S1的確定是不成問題的。數據較少時可用全期平均、移動平均法；數據較多時，可用最小二乘法。但不能使用指數平滑法本身確定初始值，因為數據必會枯竭。

　　如果僅有從y1開始的數據，那麼確定初始值的方法有：

　　1）取S1等於y1；

　　2）待積累若幹數據後，取S1等於前面若幹數據的簡單算術平均數，如：S1=（y1+ y2+y3）/3等等。

　　據平滑次數不同，指數平滑法分為：一次指數平滑法、二次指數平滑法和三次指數平滑法等。

　　當時間數列無明顯的趨勢變化，可用一次指數平滑預測。其預測公式為：

式中， 為t + 1期的預測值，即本期（t期）的平滑值S_t； y_t為t期的實際值； 為t期的預測值，即上期的平滑值S_{t − 1} 。

　　該公式又可以寫作： 。可見，下期預測值又是本期預測值與以a為折扣的本期實際值與預測值誤差之和。

　　二次指數平滑是對一次指數平滑的再平滑。它適用於具線性趨勢的時間數列。其預測公式為：

　　yt+m=(2+am/(1-a))yt'-(1+am/(1-a))yt=(2yt'-yt)+m(yt'-yt) a/(1-a)

　　式中，yt= ayt-1'+(1-a)yt-1

　　顯然，二次指數平滑是一直線方程，其截距為：(2yt'-yt)，斜率為：(yt'-yt) a/(1-a),自變數為預測天數。

　　三次指數平滑預測是二次平滑基礎上的再平滑。其預測公式是：

　　yt+m=(3yt'-3yt+yt)+[(6-5a)yt'-(10-8a)yt+(4-3a)yt]*am/2(1-a)2+ (yt'-2yt+yt')*a2m2/2(1-a)2

　　式中，yt=ayt-1+(1-a)yt-1

　　它們的基本思想都是：預測值是以前觀測值的加權和，且對不同的數據給予不同的權，新數據給較大的權，舊數據給較小的權。

　　一段時間內收集到的數據所呈現的上升或下降趨勢將導致指數預測滯後於實際需求。通過趨勢調整，添加趨勢修正值，可以在一定程度上改進指數平滑預測結果。調整後的指數平滑法的公式為：

　　包含趨勢預測(YITt)=新預測（Yt）+趨勢校正（Tt）

　　進行趨勢調整的指數平滑預測有三個步驟：

　　1、 利用前面介紹的方法計算第t期的簡單指數平滑預測（Yt）；

　　2、 計算趨勢。其公式為： Tt=(1-b)Tt-1+b(Yt-Yt-1)其中，

• Tt=第t期經過平滑的趨勢；
• Tt-1=第t期上期經過平滑的趨勢；
• b=選擇的趨勢平滑繫數；
• Yt=對第t期簡單指數平滑預測；
• Yt-1=對第t期上期簡單指數平滑預測。

　　3、計算趨勢調整後的指數平滑預測值（YITt）。計算公式為：YITt=Yt+Tt。

　　以某軟體公司A為例。給出2000-2005年的歷史銷售資料，將數據代入指數平滑模型。預測2006年的銷售額，作為銷售預算編製的基礎。

　　由散點圖示可知。根據經驗判斷法。A公司2000-2005年銷售額時間序列波動很大。長期趨勢變化幅度較大，呈現明顯且迅速的上升趨勢，宜選擇較大的α值，可在05-O.8間選值，以使預測模型靈敏度高些，結合試演算法取0.5，0.6,0.8分別測試。經過第一次指數平滑後，數列呈現直線趨勢，故選用二次指數平滑法即可。

　　試算結果見下表。根據偏差平方的均值(MSE)最小，即各期實際值與預測值差的平方和除以總期數．以最小值來確定合理的取值標準，經測算當α = 0.6時，MSE₁ = l445.4；當α = 0.8時，MSE₂=10783.7；當α = 0.5時，MSE₃ = 1906.1。因此選擇α = 0.6來預測2006年4個季度的銷售額。

　　2005年第四季度=736.8;=679.5;；可以求得；=(736.8-679.5)/0.4=85.9則預測方Y_{2005 + T} = 794.1 + 85.9T,因此，2006年第一、二、三、四季度的預測值分別為：

　　Y₁ = 794.1 + 85.9 = 800(萬元)

　　(萬元)

　　(萬元)

　　(萬元)

　　綜上所述，本案例首先根據銷售歷史資料，給出數列散點圖。再根據散點圖的特征選擇二次指數平滑法，通過對α的試算，確定符合預測需要的α值，最後根據指數平滑模型計算出2006年14季度的銷售預測值，作為銷售預算的基礎。

　　指數平滑法是較為有效的銷售預算的統計方法。利用Excel可以簡便易行地進行預測，節約了預測時間並提高了預測的準確率，預測者可根據數據數列散點圖的歷史趨勢等選擇一次或多次指數平滑。但指數平滑法的應用也會受到一定限制。如採用指數平滑法需要有比較完備的歷史資料；當企業銷售量受季節影響較大時，時間序列分解法比指數平滑法應用效果更好等。因此，銷售預測人員要根據企業的具體情況和預測的對象。把指數平滑法和定性預測方法正確地結合起來運用。才能全面認識和把握預測對象的未來發展趨勢，使的預測結果更加接近客觀現實，從而做出實事求是的預測結論。

• 簡易平均法
• 移動平均法
• 趨勢延伸法
• 因果分析法
• 直線修勻法