抽樣平均誤差

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抽樣平均誤差(Sampling average error)

目錄

什麼是抽樣平均誤差

  抽樣平均誤差是抽樣平均數(或抽樣成數)的標準差,它反映抽樣平均數(或抽樣成數)與總體平均數(或總體成數)的平均差異程度。由於從一個總體可能抽取多個樣本,因此抽樣指標(如平均數、抽樣成數等),就有多個不同的數值,因而對全及指標(如總體平均數、總體成數等)的離差也就有大有小,這就必需用一個指標來衡量抽樣誤差的一般水平。

  抽樣平均數的平均數等於總體平均數,抽樣成數的平均數等於總體總數,因而抽樣平均數(或抽樣成數)的標準差實際上反映了抽樣平均數(或抽樣成數)與總體平均數(或總體成數)的平均差異程度。

抽樣平均誤差的計算

  (一)樣本平均數的平均誤差

  以μx表示樣本平均數的平均誤差, 表示總體的標準差。根據定義:

  \mu_x^2=E(\bar{x}-\bar{X})^2

  1、當抽樣方式為重覆抽樣時,樣本標誌值x_1,x_2,\cdots x_n是相互獨立的,樣本變數x與總體變數X同分佈。所以得:

  \mu_x^2=\frac{\sigma^2}{n}    (1)

  它說明在重覆抽樣的條件下,抽樣平均誤差與總體標準差成正比,與樣本容量的平方根成反比。

  例1:有5個工人的日產量分別為(單位:件):6,8,10,12,14,用重覆抽樣的方法,從中隨機抽取2個工人的日產量,用以代表這5個工人的總體水平。則抽樣平均誤差為多少?

  解:根據題意可得:\bar{X}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=10(件)

  總體標準差\sigma=\frac{\sqrt{\sum(X-\bar{X})_2}}{\sqrt{N}}=\frac{\sqrt{40}}{sqrt{5}}=\sqrt{8}(件)

  抽樣平均誤差\mu_x=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=2(件)

  2、當抽樣方式為不重覆抽樣時,樣本標誌值x_1,x_2,\cdots,x_n不是相互獨立的,根據數理統計知識可知:

  \mu_x=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})}    (2)

  當總體單位數N很大時,這個公式可近似表示為:

  \mu_x=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(1-\frac{n}{N})}    (3)

  與重覆抽樣相比,不重覆抽樣平均誤差是在重覆抽樣平均誤差的基礎上,再乘以\sqrt{(N-n)/(N-1)},而\sqrt{(N-n)/(N-1)}總是小於1,所以不重覆抽樣的平均誤差也總是小於重覆抽樣的平均誤差。如前例,若改用不重覆抽樣方法,則抽樣平均誤差為:

  \mu_x=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})}=\sqrt{\frac{8}{2}(\frac{5-2}{5-1})}=1.732(件)

  在計算抽樣平均誤差時,通常得不到總體標準差的數值,一般可以用樣本標準差來代替總體標準差。

  (二)抽樣成數的平均誤差

  總體成數P可以表現為總體是非標誌的平均數。即E(X)=P,它的標準差\sigma=\sqrt{P(1-P)}

  根據樣本平均誤差和總體標準差的關係,可以得到樣本成數的平均誤差的計算公式。

  1、在重覆抽樣下

  \mu_p=\sigma/\sqrt{n}=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}}    (4)

  2、在不重覆抽樣下

  \mu_p=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})}=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}(\frac{N-n}{N-1})}    (5)

  當總體單位數N很大時,可近似地寫成:

  \mu_p=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}(1-\frac{n}{N})}    (6)

  當總體成數未知時,可以用樣本成數來代替。

  例2:某企業生產的產品,按正常生產經驗,合格率為90%,現從5000件產品中抽取50件進行檢驗,求合格率的抽樣平均誤差。

  解:根據題意,在重覆抽樣條件下,合格率的抽樣平均誤差為:

  \mu_p=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}}=\sqrt{\frac{0.9\times 0.1}{50}}

  在不重覆抽樣條件下,合格率的抽樣平均誤差為:

  \mu_p=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}(1-\frac{n}{N})}=\sqrt{\frac{0.9\times 0.1}{50}(1-\frac{50}{5000})}=4.22%

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評論(共4條)

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123.150.183.* 在 2011年6月20日 22:35 發表

挺好

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111.193.231.* 在 2014年5月29日 10:31 發表

0.1哪來的

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183.94.32.* 在 2014年11月25日 22:32 發表

希望有推導過程

回複評論
111.18.49.* 在 2020年3月18日 14:07 發表

“抽樣平均數的平均數等於總體平均數,抽樣成數的平均數等於總體總數”這個結論對嗎?

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