抽样平均误差

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抽样平均误差(Sampling average error)

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什么是抽样平均误差

  抽样平均误差是抽样平均数(或抽样成数)的标准差,它反映抽样平均数(或抽样成数)与总体平均数(或总体成数)的平均差异程度。由于从一个总体可能抽取多个样本,因此抽样指标(如平均数、抽样成数等),就有多个不同的数值,因而对全及指标(如总体平均数、总体成数等)的离差也就有大有小,这就必需用一个指标来衡量抽样误差的一般水平。

  抽样平均数的平均数等于总体平均数,抽样成数的平均数等于总体总数,因而抽样平均数(或抽样成数)的标准差实际上反映了抽样平均数(或抽样成数)与总体平均数(或总体成数)的平均差异程度。

抽样平均误差的计算

  (一)样本平均数的平均误差

  以μx表示样本平均数的平均误差, 表示总体的标准差。根据定义:

  \mu_x^2=E(\bar{x}-\bar{X})^2

  1、当抽样方式为重复抽样时,样本标志值x_1,x_2,\cdots x_n是相互独立的,样本变量x与总体变量X同分布。所以得:

  \mu_x^2=\frac{\sigma^2}{n}    (1)

  它说明在重复抽样的条件下,抽样平均误差与总体标准差成正比,与样本容量的平方根成反比。

  例1:有5个工人的日产量分别为(单位:件):6,8,10,12,14,用重复抽样的方法,从中随机抽取2个工人的日产量,用以代表这5个工人的总体水平。则抽样平均误差为多少?

  解:根据题意可得:\bar{X}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=10(件)

  总体标准差\sigma=\frac{\sqrt{\sum(X-\bar{X})_2}}{\sqrt{N}}=\frac{\sqrt{40}}{sqrt{5}}=\sqrt{8}(件)

  抽样平均误差\mu_x=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=2(件)

  2、当抽样方式为不重复抽样时,样本标志值x_1,x_2,\cdots,x_n不是相互独立的,根据数理统计知识可知:

  \mu_x=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})}    (2)

  当总体单位数N很大时,这个公式可近似表示为:

  \mu_x=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(1-\frac{n}{N})}    (3)

  与重复抽样相比,不重复抽样平均误差是在重复抽样平均误差的基础上,再乘以\sqrt{(N-n)/(N-1)},而\sqrt{(N-n)/(N-1)}总是小于1,所以不重复抽样的平均误差也总是小于重复抽样的平均误差。如前例,若改用不重复抽样方法,则抽样平均误差为:

  \mu_x=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})}=\sqrt{\frac{8}{2}(\frac{5-2}{5-1})}=1.732(件)

  在计算抽样平均误差时,通常得不到总体标准差的数值,一般可以用样本标准差来代替总体标准差。

  (二)抽样成数的平均误差

  总体成数P可以表现为总体是非标志的平均数。即E(X)=P,它的标准差\sigma=\sqrt{P(1-P)}

  根据样本平均误差和总体标准差的关系,可以得到样本成数的平均误差的计算公式。

  1、在重复抽样下

  \mu_p=\sigma/\sqrt{n}=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}}    (4)

  2、在不重复抽样下

  \mu_p=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})}=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}(\frac{N-n}{N-1})}    (5)

  当总体单位数N很大时,可近似地写成:

  \mu_p=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}(1-\frac{n}{N})}    (6)

  当总体成数未知时,可以用样本成数来代替。

  例2:某企业生产的产品,按正常生产经验,合格率为90%,现从5000件产品中抽取50件进行检验,求合格率的抽样平均误差。

  解:根据题意,在重复抽样条件下,合格率的抽样平均误差为:

  \mu_p=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}}=\sqrt{\frac{0.9\times 0.1}{50}}

  在不重复抽样条件下,合格率的抽样平均误差为:

  \mu_p=\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}(1-\frac{n}{N})}=\sqrt{\frac{0.9\times 0.1}{50}(1-\frac{50}{5000})}=4.22%

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评论(共5条)

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123.150.183.* 在 2011年6月20日 22:35 发表

挺好

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111.193.231.* 在 2014年5月29日 10:31 发表

0.1哪来的

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Mis铭 (Talk | 贡献) 在 2014年5月29日 15:51 发表

111.193.231.* 在 2014年5月29日 10:31 发表

0.1哪来的

依据算式(4)(5)代入计算而出,0.1为(1-P),P此时为例题中的合格率90%,即0.9,希望对您有帮助!

回复评论
183.94.32.* 在 2014年11月25日 22:32 发表

希望有推导过程

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111.18.49.* 在 2020年3月18日 14:07 发表

“抽样平均数的平均数等于总体平均数,抽样成数的平均数等于总体总数”这个结论对吗?

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