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變額年金法

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目錄

什麼是變額年金法

  變額年金法是每期支付的租金金額不相等的租金支付方式。

變額年金法的分類及計算[1]

  變額年金法分為等差變額年金法等比變額年金法

  ①等差變額年金法。

  在這種方法下,每期租金都比前一期增加一個常數d。其公式是:

  R_1=\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}[P+\frac{d}{i}(n- \frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n})]-nd

  式中:R1真為第一期期末支付的租金;d為常數。

  根據定義:R2 = R1 + d

  R3 = R1 + 2d

  ……

  Rn = R1 + (n − 1)d

  將上面R1,R2,R3……Rn的內容代入

  P= \frac{R_1}{1+i}+ \frac{R_2}{(1+i)^2}+……+ \frac{R_n}{(1+i)^n}得:

  P= \frac{R_1}{1+i}+ \frac{R_1+d}{(1+i)^2}+ \frac{R_1+2d}{(1+i)^3}+……+ \frac{R_1+(n-1)d}{(1+i)^n}

  = R_1[\frac{1}{(1+i)}+ \frac{1}{(1+i)^2}+……+ \frac{1}{(1+i)^n}]+d[\frac{1}{(1+i)^2}+ \frac{2}{(1+i)^3}+……+ \frac{(n-1)}{(1+i)^n}]

  = R_1 \frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}+nd \times \frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}-d[\frac{n}{1+i}+ \frac{n-1}{(1+i)^2}+……+ \frac{1}{(1+i)^n}]

  所以:R_1= \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}[P+ \frac{d}{i}(n- \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1})]-nd

  如果d > 0,則後一期租金比前一期租金增加一個正數,稱為等差遞增變額年金法。

  如果d < 0,則後一期租金比前一期租金增加一個負數,稱為等差遞減變額年金法。

  如果d=0,則為等額年金法,因此,等額年金法是變額年金法的特例。

  ②等比變額年金法。

  在這種方法下,每期租金與前一期租金的比值總是一個常數q。公式如下:

  R_1=P \bullet \frac{(1+i-q)}{1-(\frac{q}{1+i})^n}

  式中:R1為第一期期末支付的租金額;q為常數。

  公式可推導如下:

  R_2=R_1 \bullet q R_3=R_2 \bullet q=R_1 \bullet q^2 …… R_n=R_1 \bullet q^{n-1}

  把上式代入等式P= \frac{R_1}{1+i}+ \frac{R_2}{(1+i)^2}+……+ \frac{R_n}{(1+i)^n}得:

  P=\frac{R_1}{1+i}+ \frac{R_1q}{(1+i)^2}+……+ \frac{R_1q^{n-1}}{(1+i)^n}

  =R_1[\frac{1}{(1+i)}+ \frac{q}{(1+i)^2}+……+ \frac{q^{n-1}}{(1+i)^n}]

  =R_1 \bullet \frac{1- (\frac{q}{1+i})^n}{1+i-q}

  所以,R_1=\frac{P(1+i-q)}{1- (\frac{q}{1+i})^n}或者R_1=\frac{P(1+i-q)(1+i)^n}{(1+i)^n - q^n}

  如果q > 1,則為等比遞增變額年金法。

  如果q < 1,則為等比遞減變額年金法。

  如果q = 1,則為等額年金法。

  由此我們可以看出,使用變額年金法,每次支付租金的金額不同,有時遞增、有時遞減;此法符合收益成本相配比的原則;d與q的大小難以確定,而且d、q越大,租金增額越多。

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參考文獻

  1. 張素琴,吳祖明,張功富等.現代金融學概論.首都經濟貿易大學出版社,1997年08月第1版
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