变额年金法

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什么是变额年金法

  变额年金法是每期支付的租金金额不相等的租金支付方式。

变额年金法的分类及计算[1]

  变额年金法分为等差变额年金法等比变额年金法

  ①等差变额年金法。

  在这种方法下,每期租金都比前一期增加一个常数d。其公式是:

  R_1=\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}[P+\frac{d}{i}(n- \frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n})]-nd

  式中:R1真为第一期期末支付的租金;d为常数。

  根据定义:R2 = R1 + d

  R3 = R1 + 2d

  ……

  Rn = R1 + (n − 1)d

  将上面R1,R2,R3……Rn的内容代入

  P= \frac{R_1}{1+i}+ \frac{R_2}{(1+i)^2}+……+ \frac{R_n}{(1+i)^n}得:

  P= \frac{R_1}{1+i}+ \frac{R_1+d}{(1+i)^2}+ \frac{R_1+2d}{(1+i)^3}+……+ \frac{R_1+(n-1)d}{(1+i)^n}

  = R_1[\frac{1}{(1+i)}+ \frac{1}{(1+i)^2}+……+ \frac{1}{(1+i)^n}]+d[\frac{1}{(1+i)^2}+ \frac{2}{(1+i)^3}+……+ \frac{(n-1)}{(1+i)^n}]

  = R_1 \frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}+nd \times \frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}-d[\frac{n}{1+i}+ \frac{n-1}{(1+i)^2}+……+ \frac{1}{(1+i)^n}]

  所以:R_1= \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}[P+ \frac{d}{i}(n- \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1})]-nd

  如果d > 0,则后一期租金比前一期租金增加一个正数,称为等差递增变额年金法。

  如果d < 0,则后一期租金比前一期租金增加一个负数,称为等差递减变额年金法。

  如果d=0,则为等额年金法,因此,等额年金法是变额年金法的特例。

  ②等比变额年金法。

  在这种方法下,每期租金与前一期租金的比值总是一个常数q。公式如下:

  R_1=P \bullet \frac{(1+i-q)}{1-(\frac{q}{1+i})^n}

  式中:R1为第一期期末支付的租金额;q为常数。

  公式可推导如下:

  R_2=R_1 \bullet q R_3=R_2 \bullet q=R_1 \bullet q^2 …… R_n=R_1 \bullet q^{n-1}

  把上式代入等式P= \frac{R_1}{1+i}+ \frac{R_2}{(1+i)^2}+……+ \frac{R_n}{(1+i)^n}得:

  P=\frac{R_1}{1+i}+ \frac{R_1q}{(1+i)^2}+……+ \frac{R_1q^{n-1}}{(1+i)^n}

  =R_1[\frac{1}{(1+i)}+ \frac{q}{(1+i)^2}+……+ \frac{q^{n-1}}{(1+i)^n}]

  =R_1 \bullet \frac{1- (\frac{q}{1+i})^n}{1+i-q}

  所以,R_1=\frac{P(1+i-q)}{1- (\frac{q}{1+i})^n}或者R_1=\frac{P(1+i-q)(1+i)^n}{(1+i)^n - q^n}

  如果q > 1,则为等比递增变额年金法。

  如果q < 1,则为等比递减变额年金法。

  如果q = 1,则为等额年金法。

  由此我们可以看出,使用变额年金法,每次支付租金的金额不同,有时递增、有时递减;此法符合收益成本相配比的原则;d与q的大小难以确定,而且d、q越大,租金增额越多。

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参考文献

  1. 张素琴,吴祖明,张功富等.现代金融学概论.首都经济贸易大学出版社,1997年08月第1版
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