二元隨機變數

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出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

什麼是二元隨機變數

　　有很多隨機試驗往往會設計2個隨機變數，值得註意的是，這些隨機變數並非孤立，而是相互之間有一定的聯繫。因而需要把它們作為一個整體來研究。如果每次試驗結果都對應著一組確實的實數，它們是隨試驗結果不同變化的二個隨機變數，並且對任何一組實數 $x 1$ , $x 2$ ,..., $x n$ ，事件有確定的概率，則稱二個隨機變數的整體為一個二元隨機變數。

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二元隨機變數的內容

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二維離散型隨機變數

　　(1)聯合分佈律

　　 $P (X = x i, Y = Y j) = p i, j$ 和下麵的聯合概率分佈表稱作二元離散型隨機變數(X,Y)的分佈律或X與Y的聯合分佈律。 $p i, j$ 稱為(X,Y)的概率函數或概率分佈，或稱為X和Y的聯合概率函數或概率分佈。

$\frac{X}{Y}$	$y 1$	$y 2$	…	$y j$	…	$P (X = x i)$
$X 1$	$p 11$	$p 12$	…	$p 1 j$	…	$p_1^{(1)}$
$X 2$	$p 21$	$p 22$	…	$p 2 j$	…	$p_2^{(1)}$
...
$X i$	$p i 1$	$p i 2$	…	$p i j$	…	$p_i^{(1)}$
...
P(Y=y)	$P_1^{(2)}$	$p_2^{(2)}$	…	$P_j^{(2)}$	…

　　(2)邊緣分佈

　　設(X,Y)具有 $P (X = x i, Y = Y j) = p i j$ ，則

　　 $P(X=x_i)=\sum_{j} P(X=x_i,Y=y_i)=\sum_{j} p_{ij}=p_i=p_i^{(1)}$ （聯合分佈表中第i行各概率相加）

　　稱為（X,Y）對X的邊緣概率分佈。

　　 $P(Y=y_i)=\sum_{i} P(X=x_i,Y=y_j)=\sum_{i} p_{ij}=p_j=p_j^{(2)}$ （聯合分佈表中第j列各概率相加）

　　稱為(X，Y)對Y的邊緣概率分佈。

　　(3)條件分佈

　　對於二元離散型隨機變數（X,Y），如果 $P(Y=y_j)\ge 0$ ，則

　　 $P(X=x_i|Y=y_j)=\frac{p_{ij}}{p_j^{(2)}}=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}$

　　稱為在 $Y = y j$ 條件下關於X的條件分佈。

　　同理，如果 $p_i^{(1)}=P(X=x_i)\ge0$ ,則

　　 $P(Y=y_j|X=x_i)=\frac{p_{ij}}{p_i{(1)}}=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(X=x_i)}$

　　稱為在 $X = x i$ 條件下關於Y的條件分佈。

　　（4）二元離散型隨機變數的分佈函數 $F(x,y)=\sum_{x_i\le x}\sum_{y_j\le y}p_{ij}$

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二維連續型隨機變數

　　（1）聯合概率密度

　　如果存在非負函數 $φ(x, y)$ ，使得(X,Y)的分佈函數F(x, y)對於任意實數x, y都有 $F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y} \phi(s,t)dtds$ ,

　　則稱（X,Y）是二元連續型隨機變數， $φ(x, y)$ 稱為X與Y的聯合概率密度或（X,Y）的概率密度。

　　分佈函數其實就是 $F(x,y)=P(X\le x,Y\ge y)$ 。

　　若 $φ(x, y)$ 在某區域連續，則對該區域中的每一點（x,y）都有 $\frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}=\partial(x,y)$

　　(2)邊緣概率密度

　　 $F_{X}(x)=P(X\le x)= P(X\le x,-\infty<Y<+\infty)=\begin{matrix}\lim_{y\to\infty}F(x,y)\end{matrix}= \int_{-\infty}^{x}ds$ $\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(s,t)dt=\int_{-\infty}^{x}\phi_x(s)ds$

　　則稱為(X,Y)關於X的邊緣分佈函數。

　　 $\phi_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(x,y)dy$ 稱為（X,Y)關於X的邊緣概率密度。

　　 $F_{Y}(y)=P(Y\le y)=P(-\infty<X<+\infty,Y\le y)=\begin{matrix}\lim_{x\to\infty}F(x,y)\end{matrix}=\int_{-\infty}^{Y}dt \int_{-\infty}^{+\infty}\phi(s,t)ds=\int_{-\infty}^{y}\phi_y(t)dt$