Tobit模型

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　　Tobit模型也称为样本选择模型、受限因变量模型，是因变量满足某种约束条件下取值的模型。

　　这种模型的特点在于模型包含两个部分，一是表示约束条件的选择方程模型；一种是满足约束条件下的某连续变量方程模型。研究感兴趣的往往是受限制的连续变量方程模型，但是由于因变量受到某种约束条件的制约，忽略某些不可度量(即：不是观测值，而是通过模型计算得到的变量)的因素将导致受限因变量模型产生样本选择性偏差。两部模型(two-part model)与Tobit模型有很大的相似之处，也是研究受限因变量问题的模型；但是这两种模型在模型结构形式、估计方法、假设条件等方面也存在一定的区别。

　　Tobit模型的形式如下：

　　 y_i = α + βx_i + υ_i (1)

　　 其中υ_i为随机误差项，x_i为定量解释变量。y_i为二元选择变量。此模型由James Tobin 1958年提出，因此得名。如利息税、机动车的费改税问题等。设

　　若是第一种选择等于1，第二种选择是0。

　　对yi取期望，

　　E(y_i) = α + βx_i (2)

　　下面研究y_i的分布。因为y_i只能取两个值，0和1，所以y_i服从两点分布。把y_i的分布记为，

　　则:

　　E(y_i) = 1(p_i) + 0(1 − p_i) = p_i (3)

　　由（2）和（3）式有:

　　 p_i = α + βx_i （y_i的样本值是0或1，而预测值是概率。） (4)

　　 以p_i = − 0.2 + 0.05x_i 为例，说明x_i 每增加一个单位，则采用第一种选择的概率增加0.05。假设用这个模型进行预测，当预测值落在 [0，1] 区间之内（即x_i取值在[4, 24] 之内）时，则没有什么问题；但当预测值落在[0，1] 区间之外时，则会暴露出该模型的严重缺点。因为概率的取值范围是 [0，1]，所以此时必须强令预测值（概率值）相应等于0或1（见下图）。线性概率模型常写成如下形式，

　　 (5)

　　然而这样做是有问题的。假设预测某个事件发生的概率等于1，但是实际中该事件可能根本不会发生。反之，预测某个事件发生的概率等于0，但是实际中该事件却可能发生了。虽然估计过程是无偏的，但是由估计过程得出的预测结果却是有偏的。

　　由于线性概率模型的上述缺点，希望能找到一种变换方法，（1）使解释变量xi所对应的所有预测值（概率值）都落在（0，1）之间。（2）同时对于所有的x_i，当x_i增加时，希望y_i也单调增加或单调减少。显然累积概率分布函数F(z_i) 能满足这样的要求。采用累积正态概率分布函数的模型称作Probit模型。用正态分布的累积概率作为Probit模型的预测概率。另外logistic函数也能满足这样的要求。采用logistic函数的模型称作logit模型。

累积正态概率分布曲线

logistic曲线