Tobit模型

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　　Tobit模型也稱為樣本選擇模型、受限因變數模型，是因變數滿足某種約束條件下取值的模型。

　　這種模型的特點在於模型包含兩個部分，一是表示約束條件的選擇方程模型；一種是滿足約束條件下的某連續變數方程模型。研究感興趣的往往是受限制的連續變數方程模型，但是由於因變數受到某種約束條件的制約，忽略某些不可度量(即：不是觀測值，而是通過模型計算得到的變數)的因素將導致受限因變數模型產生樣本選擇性偏差。兩部模型(two-part model)與Tobit模型有很大的相似之處，也是研究受限因變數問題的模型；但是這兩種模型在模型結構形式、估計方法、假設條件等方面也存在一定的區別。

　　Tobit模型的形式如下：

　　 y_i = α + βx_i + υ_i (1)

　　 其中υ_i為隨機誤差項，x_i為定量解釋變數。y_i為二元選擇變數。此模型由James Tobin 1958年提出，因此得名。如利息稅、機動車的費改稅問題等。設

　　若是第一種選擇等於1，第二種選擇是0。

　　對yi取期望，

　　E(y_i) = α + βx_i (2)

　　下麵研究y_i的分佈。因為y_i只能取兩個值，0和1，所以y_i服從兩點分佈。把y_i的分佈記為，

　　則:

　　E(y_i) = 1(p_i) + 0(1 − p_i) = p_i (3)

　　由（2）和（3）式有:

　　 p_i = α + βx_i （y_i的樣本值是0或1，而預測值是概率。） (4)

　　 以p_i = − 0.2 + 0.05x_i 為例，說明x_i 每增加一個單位，則採用第一種選擇的概率增加0.05。假設用這個模型進行預測，當預測值落在 [0，1] 區間之內（即x_i取值在[4, 24] 之內）時，則沒有什麼問題；但當預測值落在[0，1] 區間之外時，則會暴露出該模型的嚴重缺點。因為概率的取值範圍是 [0，1]，所以此時必須強令預測值（概率值）相應等於0或1（見下圖）。線性概率模型常寫成如下形式，

　　 (5)

　　然而這樣做是有問題的。假設預測某個事件發生的概率等於1，但是實際中該事件可能根本不會發生。反之，預測某個事件發生的概率等於0，但是實際中該事件卻可能發生了。雖然估計過程是無偏的，但是由估計過程得出的預測結果卻是有偏的。

　　由於線性概率模型的上述缺點，希望能找到一種變換方法，（1）使解釋變數xi所對應的所有預測值（概率值）都落在（0，1）之間。（2）同時對於所有的x_i，當x_i增加時，希望y_i也單調增加或單調減少。顯然累積概率分佈函數F(z_i) 能滿足這樣的要求。採用累積正態概率分佈函數的模型稱作Probit模型。用正態分佈的累積概率作為Probit模型的預測概率。另外logistic函數也能滿足這樣的要求。採用logistic函數的模型稱作logit模型。

累積正態概率分佈曲線

logistic曲線