资本配置线

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资本配置线（Capital Allocation Line，CAL）

　　与投资组合具有相同特征、不同风险资产权重的一系列投资组合的期望收益与标准差配对集合构成了投资可行集，由它们连接而成的直线，叫资本配置线。

　　资本配置线是引入无风险借贷后，将一定量的资本在某一特定的风险资产组合与无风险资产之间分配，描述所有可能的新组合的预期收益与风险之间关系的线条。由于无风险资产与风险资产之间的协方差为0，因此，在二维坐标系中，资本配置线就是无风险资产回报的点（出现在纵轴上）与风险资产的点（风险资产在二维坐标内，收益比无风险资产高）的连线。当投资人强调安全性时，会增加无风险资产的持有；当投资人强调收益性时，会增加对风险资产的持有，对应的组合点就在资本配置线上移动。

　　如果我们定义坐标的横轴为反映风险的标准差,竖轴为资产组合的期望收益。那么,我们可以说,无风险资产组合的期望收益-风险组合的几何表达是上述坐标的竖轴的一点[E(r_p)=3%,σ_p=0],因为无风险资产组合的标准差为0。风险资产组合P的几何表达是另一个点[E(r_p)=9%,σ_p=21%]。这样,如果投资者的选择是将全部投资都投向风险资产,即y=1,他所选择的就是资产组合P,他的期望收益与标准差就是E(r_p)=9%,σ_p=21%。如果投资者的选择是将全部投资都投向无风险资产,即1-y=1,他所选择的就是资产组合F,他的期望收益与标准差就是E(r_p)=3%,σ_p=0。在期望收益与标准差的组合图上连这两点成一条直线,我们称这条线为资本配置线。这条直线的斜率为[E(r_p)-r_f]/σ_p(增量/自变量),即6/21。图5.1是资本配置线的图形。

　　我们已知资本配置线上的两个点是投资者资本配置的两个极端点,即或者将全部投资都投向风险资产,或者将全部投资都投向无风险资产。在这两点之间的资本配置线上的任意一点反映了投资者的某一种既有风险资产投资,又有无风险资产投资的资产组合,以及这一资产组合的期望收益和标准差的情况。从资本配置线上标准差为0的点开始沿线右移,线上离0点越远的点代表了一个风险资产在全部资产组合中占比例更大的一种资产组合。因此,从资本配置线上可以直观地看到,随着风险资产在全部资产组合中所占比例的不断增长,全部资产组合的风险(标准差)也越来越大。由于直线的斜率为6/21=0.29,因此,每增加1单位额外的风险,可以获得0.29单位的额外收益。换句话说,就是每增加1单位额外的收益,将增加3.5(21/6=3.5)单位风险。

　　为了给出资本配置线的进一步的数学表达式,我们将σ_c=yσ_p=21y式进行整理,有y = σ_c / σ_p,将y代入E(r_c)=yE(r_p)+(1-y)r_f=r_f+y[E(r_p)-r_f]=3%+y(9%-3%)式,有

　　E(r_c)=r_f + y[E(r_p) − r_f] = r_f + (σ_c / σ_p)[E(r_p) − r_f]

　　=3+(6/21)σ_c.................(5.7)

　　从式中可以看到,资产组合的期望收益作为其标准差的函数是一条直线,其截距为rf,斜率为6/21。斜率S的数学表达式为

　　S=[E(r_p)-r_f]/σ_p =6/21...........(5.8)

　　有了资本配置线的截距和斜率的数学表达,我们就可以对资本配置线的几何表达有更深入的认识。因此,我们现在可以明确,资本配置线反映了投资者所有可行的风险收益资产组合。由于直线的斜率反映了在选择资产组合时,每增加一单位标准差会增长的期望收益。因此,该斜率也可称为酬报与波动性比率(reward-to-variabilityratio)。我们一般认为这个值较大些好,因为这个值越大,就意味着资本配置线越陡,即增加一单位风险可以增加更多的期望收益。

　　如果选择将全部投资投向风险资产，期望收益与标准差就是E(r_p)=9%，σ_P=21%。如果选择将全部投资投向无风险资产，期望收益与标准差就是E(r_p)=3%，σ_P=0。从线上可直观地看到，风险增加，收益也增加。由于直线的斜率为6/21=0.29，每增1单位风险，可获0.29单位收益。即每增1单位收益，将增3.5(21/6=3.5)单位风险。

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