最小二乘法
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最小二乘法（generalized least squares，簡稱GLS），又稱最小平方法（least square method）
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所謂的最小二乘法（generalized least squares）是一種數學優化技術，它通過最小化誤差的平方和找到一組數據的最佳函數匹配。 最小二乘法是用最簡的方法求得一些絕對不可知的真值，而令誤差平方之和為最小。 最小二乘法通常用於曲線擬合。很多其他的優化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘形式表達。
比如從最簡單的一次函數y=kx+b講起已知坐標軸上有些點(1.1,2.0),(2.1,3.2),(3,4.0),(4,6),(5.1,6.0),求經過這些點的圖象的一次函數關係式。當然這條直線不可能經過每一個點,我們只要做到5個點到這條直線的距離的平方和最小即可,這這就需要用到最小二乘法的思想.然後就用線性擬合來求。一般只用於建模。
1801年，義大利天文學家朱賽普·皮亞齊發現了第一顆小行星穀神星。經過40天的跟蹤觀測後，由於穀神星運行至太陽背後，使得皮亞齊失去了穀神星的位置。隨後全世界的科學家利用皮亞齊的觀測數據開始尋找穀神星，但是根據大多數人計算的結果來尋找穀神星都沒有結果。時年24歲的高斯也計算了穀神星的軌道。奧地利天文學家海因里希·奧爾伯斯根據高斯計算出來的軌道重新發現了穀神星。
高斯使用的最小二乘法的方法發表於1809年他的著作《天體運動論》中。
法國科學家勒讓德於1806年獨立發現“最小二乘法”。但因不為時人所知而默默無聞。
勒讓德曾與高斯為誰最早創立最小二乘法原理髮生爭執。
1829年，高斯提供了最小二乘法的優化效果強於其他方法的證明，因此被稱為高斯-莫卡夫定理。
最小二乘法原理[1]
在我們研究兩個變數(x, y)之間的相互關係時，通常可以得到一系列成對的數據(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；將這些數據描繪在x -y直角坐標系中:
YX= a0 + a1 X (式1-1)
其中：a0、a1 是任意實數
為建立這直線方程就要確定a0和a1，應用《最小二乘法原理》，將實測值Yi與利用(式1-1)計算值(Y計=a0+a1X)的離差(Yi-Y計)的平方和〔∑(Yi - YX)2〕最小為“優化判據”。
令: φ = ∑(Yi - YX)2 (式1-2)
把(式1-1)代入(式1-2)中得:
φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)
當∑(Yi-YX)平方最小時，可用函數 φ 對a0、a1求偏導數，令這兩個偏導數等於零。亦即：
m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-4)
(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-5)
得到的兩個關於a0、 a1為未知數的兩個方程組，解這兩個方程組得出：
a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-6)
a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2/ m)] (式1-7)
這時把a0、a1代入(式1-1)中, 此時的(式1-1)就是我們回歸的元線性方程即：
。
在回歸過程中，回歸的關聯式是不可能全部通過每個回歸數據點(x1, y1、 x2, y2...xm,ym),為了判斷關聯式的好壞,可藉助相關係數“R”，統計量“F”，剩餘標準偏差“S”進行判斷；“R”越趨近於 1 越好；“F”的絕對值越大越好；“S”越趨近於 0 越好。
R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) ＊
在(式1-1)中，m為樣本容量，即實驗次數；Xi、Yi分別任意一組實驗X、Y的數值。微積分應用
從前面的學習中, 我們知道最小二乘法可以用來處理一組數據, 可以從一組測定的數據中尋求變數之間的依賴關係, 這種函數關係稱為經驗公式. 本課題將介紹最小二乘法的精確定義及如何尋求 與 之間近似成線性關係時的經驗公式. 假定實驗測得變數之間的 個數據 , , …, , 則在 平面上, 可以得到 個點 , 這種圖形稱為“散點圖”, 從圖中可以粗略看出這些點大致散落在某直線近旁, 我們認為 與 之間近似為一線性函數, 下麵介紹求解步驟.
考慮函數 , 其中 和 是待定常數. 如果 在一直線上, 可以認為變數之間的關係為 . 但一般說來, 這些點不可能在同一直線上. 記 , 它反映了用直線 來描述 , 時, 計算值 與實際值 產生的偏差. 當然要求偏差越小越好, 但由於 可正可負, 因此不能認為總偏差 時, 函數 就很好地反映了變數之間的關係, 因為此時每個偏差的絕對值可能很大. 為了改進這一缺陷, 就考慮用 來代替 . 但是由於絕對值不易作解析運算, 因此, 進一步用 來度量總偏差. 因偏差的平方和最小可以保證每個偏差都不會很大. 於是問題歸結為確定 中的常數 和 , 使 為最小. 用這種方法確定繫數 , 的方法稱為最小二乘法.
由極值原理得 , 即
解此聯立方程得
(*)
問題 I 為研究某一化學反應過程中, 溫度 ℃)對產品得率 (％)的影響, 測得數據如下:
溫度 ℃)
100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
得率 (％)
45 51 54 61 66 70 74 78 85 89
(1) 利用“ListPlot”函數, 繪出數據 的散點圖(採用格式: ListPlot[{ , , …, }, Prolog->AbsolutePointSize[3]] );
(2) 利用“Line”函數, 將散點連接起來, 註意觀察有何特征? (採用格式: Show[Graphics[Line[{ , , …, }]] , Axes->True ]) ;
(3) 根據公式(*), 利用“Apply”函數及集合的有關運算編寫一個小的程式, 求經驗公式 ;
(程式編寫思路為: 任意給定兩個集合A (此處表示溫度)、B(此處表示得率), 由公式(*)可定義兩個二元函數(集合A和B為其變數)分別表示 和 . 集合A元素求和: Apply[Plus,A] 表示將加法施加到集合A上, 即各元素相加, 例如Apply[Plus,{1,2,3}]=6;Length[A]表示集合A 元素的個數, 即為n; A.B表示兩集合元素相乘相加;A*B表示集合A與B元素對應相乘得到的新的集合.)
(4) 在同一張圖中顯示直線 及散點圖;
(5) 估計溫度為200時產品得率.
然而, 不少實際問題的觀測數據 , , …, 的散點圖明顯地不能用線性關係來描敘, 但確實散落在某一曲線近旁, 這時可以根據散點圖的輪廓和實際經驗, 選一條曲線來近似表達 與 的相互關係.
問題 II 下表是美國舊轎車價格的調查資料, 今以 表示轎車的使用年數, (美元)表示相應的平均價格, 求 與 之間的關係.
使用年數
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
平均價格
2651 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204
(1) 利用“ListPlot”函數繪出數據 的散點圖, 註意觀察有何特征?
(2) 令 , 繪出數據 的散點圖, 註意觀察有何特征?
(3) 利用“Line”函數, 將散點 連接起來, 說明有何特征?
(4) 利用最小二乘法, 求 與 之間的關係;
(5) 求 與 之間的關係;
(6) 在同一張圖中顯示散點圖 及 關於 的圖形.
1. 假設一組數據 : , , …, 變數之間近似成線性關係, 試利用集合的有關運算, 編寫一簡單程式: 對於任意給定的數據集合 , 通過求解極值原理所包含的方程組, 不需要給出 、 計算的表達式, 立即得到 、 的值, 並就本課題 I /(3)進行實驗.
註: 利用Transpose函數可以得到數據A的第一個分量的集合, 命令格式為:
先求A的轉置, 然後取第一行元素, 即為數據A的第一個分量集合, 例如
(A即為矩陣 )
= (數據A的第一個分量集合)
= (數據A的第二個分量集合)
B-C表示集合B與C對應元素相減所得的集合, 如 = .
2. 最小二乘法在數學上稱為曲線擬合, 請使用擬合函數“Fit”重新計算 與 的值, 並與先前的結果作一比較.
註: Fit函數使用格式:
設變數為x, 對數據A進行線性擬合, 如對題1中的A擬合函數為:
- ↑ 曾之明,岳意定.我國居民儲蓄與股市聯動效應及對策[J].改革與戰略.2009年,第3期
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