馬氏距離

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馬氏距離(Mahalanobis distance)

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什麼是馬氏距離

  馬氏距離(Mahalanobis distance)是由印度統計學家馬哈拉諾比斯(P. C. Mahalanobis)提出的,表示數據的協方差距離。它是一種有效的計算兩個未知樣本集的相似度的方法。與歐氏距離不同的是,它考慮到各種特性之間的聯繫(例如:一條關於身高的信息會帶來一條關於體重的信息,因為兩者是有關聯的),並且是尺度無關的(scale-invariant),即獨立於測量尺度。對於一個均值為μ,協方差矩陣為Σ的多變數向量,其馬氏距離為sqrt( (x-μ)'Σ^(-1)(x-μ) )。

  馬氏距離也可以定義為兩個服從同一分佈並且其協方差矩陣為Σ的隨機變數之間的差異程度。

  如果協方差矩陣為單位矩陣,那麼馬氏距離就簡化為歐氏距離,如果協方差矩陣為對角陣,則其也可稱為正規化的歐氏距離。

馬氏距離與歐式距離的比較

  1)馬氏距離的計算是建立在總體樣本的基礎上的,這一點可以從上述協方差矩陣的解釋中可以得出,也就是說,如果拿同樣的兩個樣本,放入兩個不同的總體中,最後計算得出的兩個樣本間的馬氏距離通常是不相同的,除非這兩個總體的協方差矩陣碰巧相同;

  2)在計算馬氏距離過程中,要求總體樣本數大於樣本的維數,否則得到的總體樣本協方差矩陣逆矩陣不存在,這種情況下,用歐氏距離計算即可。

  3)還有一種情況,滿足了條件總體樣本數大於樣本的維數,但是協方差矩陣的逆矩陣仍然不存在,比如三個樣本點(3,4),(5,6)和(7,8),這種情況是因為這三個樣本在其所處的二維空間平面內共線。這種情況下,也採用歐氏距離計算。

  4)在實際應用中“總體樣本數大於樣本的維數”這個條件是很容易滿足的,而所有樣本點出現3)中所描述的情況是很少出現的,所以在絕大多數情況下,馬氏距離是可以順利計算的,但是馬氏距離的計算是不穩定的,不穩定的來源是協方差矩陣,這也是馬氏距離與歐氏距離的最大差異之處。

馬氏距離的優劣[1]

  優點:它不受量綱的影響,兩點之間的馬氏距離與原始數據的測量單位無關,由標準化數據和中心化數據(即原始數據與均值之差)計算出的二點之間的馬氏距離相同。馬氏距離還可以排除變數之間的相關性的干擾。

  缺點:它的缺點是誇大了變化微小的變數的作用。

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參考文獻

  1. 郭秀艷 實驗心理學 人民教育出版社 2009
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