马氏距离

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马氏距离(Mahalanobis distance)

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什么是马氏距离

  马氏距离(Mahalanobis distance)是由印度统计学家马哈拉诺比斯(P. C. Mahalanobis)提出的,表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧氏距离不同的是,它考虑到各种特性之间的联系(例如:一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息,因为两者是有关联的),并且是尺度无关的(scale-invariant),即独立于测量尺度。对于一个均值为μ,协方差矩阵为Σ的多变量向量,其马氏距离为sqrt( (x-μ)'Σ^(-1)(x-μ) )。

  马氏距离也可以定义为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量之间的差异程度。

  如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧氏距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离。

马氏距离与欧式距离的比较

  1)马氏距离的计算是建立在总体样本的基础上的,这一点可以从上述协方差矩阵的解释中可以得出,也就是说,如果拿同样的两个样本,放入两个不同的总体中,最后计算得出的两个样本间的马氏距离通常是不相同的,除非这两个总体的协方差矩阵碰巧相同;

  2)在计算马氏距离过程中,要求总体样本数大于样本的维数,否则得到的总体样本协方差矩阵逆矩阵不存在,这种情况下,用欧氏距离计算即可。

  3)还有一种情况,满足了条件总体样本数大于样本的维数,但是协方差矩阵的逆矩阵仍然不存在,比如三个样本点(3,4),(5,6)和(7,8),这种情况是因为这三个样本在其所处的二维空间平面内共线。这种情况下,也采用欧氏距离计算。

  4)在实际应用中“总体样本数大于样本的维数”这个条件是很容易满足的,而所有样本点出现3)中所描述的情况是很少出现的,所以在绝大多数情况下,马氏距离是可以顺利计算的,但是马氏距离的计算是不稳定的,不稳定的来源是协方差矩阵,这也是马氏距离与欧氏距离的最大差异之处。

马氏距离的优劣[1]

  优点:它不受量纲的影响,两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关,由标准化数据和中心化数据(即原始数据与均值之差)计算出的二点之间的马氏距离相同。马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。

  缺点:它的缺点是夸大了变化微小的变量的作用。

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参考文献

  1. 郭秀艳 实验心理学 人民教育出版社 2009
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