馬爾可夫時序預測法

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馬爾可夫時序預測法（Markov Forecasting Model）

　　馬爾可夫（Markov）是俄國著名的數學家。馬爾可夫預測法是以馬爾可夫的名字命名的一種特殊的市場預測方法。馬爾可夫預測法主要用於市場占有率的預測和銷售期望利潤的預測。就是一種預測事件發生的概率的方法。它是基於馬爾可夫鏈，根據事件的目前狀況預測其將來各個時刻（或時期）變動狀況的一種預測方法。馬爾可夫預測法是對地理、天氣、市場、進行預測的基本方法，它是地理預測中常用的重要方法之一。

　　馬爾可夫進行深入研究後指出!對於一個系統,由一個狀態轉至另一個狀態的轉換過程中,存在著轉移概率,並且這種轉移概率可以依據其緊接的前一種狀態推算出來,與該系統的原始狀態和此次轉移前的過程無關。一系列的馬爾可夫過程的整體稱為馬爾可夫鏈-馬爾可夫過程的基本概念是研究系統的“狀態”及狀態的‘轉移“,從一個狀態轉換到另一個狀態的可能性,我們稱之為狀態轉移概率-所有狀態轉移概率的排列即是轉移概率矩陣

　　1.狀態轉移概率具有兩個特性：

　　(1)P_ij\ge0(P_ij指從第i轉向第j的概率)；

　　\sum_{j=1}P_ij=1

　　2.馬爾可夫分析的基本假定

　　在進行馬爾可夫分析時,我們假定：

　　(1)預測期系統狀態數保持不變

　　(2)系統狀態轉移概率矩陣不隨時間變化

　　(3)狀態轉移僅受前一狀態影響,即馬爾可夫過程的無後效性

　　3.馬爾可夫過程用於預測基本步驟

　　首先確定系統狀態,然後確定狀態之間轉移概率,再進行預測,並對預測結果進行分析-若結果合理,則可提交預測報告,否則需檢查系統狀態及狀態轉移概率是否正確。

　　事物的發展狀態總是隨著時間的推移而不斷變化的。在一般情況下，人們要瞭解事物未來的發展狀態，不但要看到事物現在的狀態，還要看到事物過去的狀態。馬爾可夫認為，還存在另外一種情況， 人們要瞭解事物未來的發展狀態，只須知道事物現在的狀態，而與事物以前的狀態毫無關係。例如，Ａ產品明年是暢銷還是滯銷， 只與今年的銷售情況有關，而與往年的銷售情況沒有直接的關係。後者的這種情況就稱為馬爾可夫過程，前者的情況就屬於非馬爾可夫過程。

　　馬爾可夫過程的重要特征是無後效性。事物第n次出現的狀態，只與其第n-1次的狀態有關，它與以前的狀態無關。舉一個通俗例子說：池塘里有三片荷葉和一隻青蛙，假設青蛙只在荷葉上跳來跳去。若現在青蛙在荷葉Ａ上，那麼下一時刻青蛙要麼在原荷葉Ａ上跳動，要麼跳到荷葉Ｂ上，或荷葉Ｃ上。青蛙究竟處在何種狀態上，只與當前狀態有關，而與以前位於哪一片荷葉上並無關係。這種性質，就是無後效性。

　　所謂“無後效性”，是指過去對未來無後效，而不是指現在對未來無後效。馬爾可夫鏈是與馬爾可夫過程緊密相關的一個概念。馬爾可夫鏈指出事物系統的狀態由過去轉變到現在，再由現在轉變到將來，一環接一環像一根鏈條，而作為馬爾可夫鏈的動態系統將來是什麼狀態，取什麼值， 只與現在的狀態、取值有關，而與它以前的狀態、取值無關。因此，運用馬爾可夫鏈只需要最近或現在的動態資料便可預測將來。馬爾可夫預測法就是應用馬爾可夫鏈來預測市場未來變化狀態。

　　（一）轉移概率

　　運用馬爾可夫預測法，離不開轉移概率和轉移概率的矩陣。事物狀態的轉變也就是事物狀態的轉移。 事物狀態的轉移是隨機的。例如，本月份企業產品是暢銷的，下個月產品是繼續暢銷，或是滯銷，是企業無法確定的，是隨機的。由於事物狀態轉移是隨機的，因此，必須用概率來描述事物狀態轉移的可能性大小。這就是轉移概率。轉移概率用“ ”表示。下麵舉一例子說明什麼是轉移概率。

　　（二）轉移概率矩陣

　　所謂矩陣，是指許多個數組成的一個數表。每個數稱為矩陣的元素。矩陣的表示方法是用括弧將矩陣中的元素括起來，以表示它是一個整體。如Ａ就是一個矩陣。

　　這是一個由m行n列的數構成的矩陣， 表示位於矩陣中第i行與第j列交叉點上的元素， 矩陣中的行數與列數可以相等，也可以不等。當它們相等時，矩陣就是一個方陣。

　　由轉移概率組成的矩陣就是轉移概率矩陣。也就是說構成轉移概率矩陣的元素是一個個的轉移概率。

　　　　　（9-11）

　　轉移概率矩陣有以下特征：

　　①,0≤P_ij≤1

　　②，即矩陣中每一行轉移概率之和等於1。

　　用馬爾可夫預測法預測企業經營狀況的關鍵步驟有兩步：

　　(1)由企業過去的經營狀況確定一步轉移概率矩陣；

　　(2)求出n步轉移概率矩陣，完成n個時段後企業經營狀況的預測。

　　其中步驟(1)又可分為兩步，首先要確定各時段的企業經營狀況，其次是根據其狀態轉移規律確定一步轉移概率矩陣中各元素的值。

　　假設某企業的經營狀況分為盈利、持平、虧本3種狀態，分別記為E1、E2、E3。該企業在過去40個月即2004年1月至2007年4月的經營狀況變化情況如表所示。

　　從表中可見，在15個從El出發的狀態中，有3個轉移到了El，7個轉移到了E2，5個轉移到了E3。相應得出從E2和E3出發的狀態的轉移情況。總的狀態轉移情況如表所示。

　　其中行方向上的“盈利、持平、虧本”表示出發的狀態，列方向上的“盈利、持平、虧本”表示一步轉移到的狀態。“合計”列表示從“盈利”、“持平”、“虧本”狀出發的總的次數。接下來以頻率近似代替概率，便可得到其一步轉移概率矩陣，如下表所示。其中概率值可用Excel的公式計算完成。其數學公式如：從盈利到盈利的一步轉移概率；從持平到虧本的一步轉移概率，其餘可相應得出。

　　一、對市場占有率的預測

　　在市場經濟的條件下，各企業都十分註意擴大自己的市場占有率。因此，預測企業產品的市場占有率，就成為企業十分關心的問題。

　　若假設：

　　①市場的發展變化只與當前市場條件有關；

　　②沒有新的競爭者加入，也沒有老的競爭者退出；

　　③顧客總量保持不變；

　　④顧客在不同品牌之間流動的概率保持不變，就可用馬爾可夫預測法對市場占有率進行預測。

　　當然，假設與市場實際存在差距，只要預測對象基本符合假設條件，就可以運用此法得出相對科學的預測結論。

　　根據馬爾可夫鏈的基本原理，一般情況下，本期市場占有率僅取決於上期市場占有率和轉移概率。因此要預測Ｋ月後的市場占有率，其矩陣為AB^k 。

　　二、對市場占有率的預測馬爾可夫預測法的一般步驟^[3]

　　1.調查目前本企業產品市場占有率狀況,得到市場占有率向量A

　　由於市場上生產與本氽業產品相同的同類企業有許多家，但我們最關心的是本企業產品的市場占有率。故一般情況下，可以運用問卷形式進行抽樣凋查，得出與本企業有關的同類產品目前在市場上占有率向量A=P₁、P₂、P₃……P_n),1、2、3、……n代表又n家同類企業,且或100%。

　　2.調查消費者的變動情況，計算轉移概率矩陣B

　　對於眾多的消費者而言，購不購買本企業的產品純粹是偶然事件，但是若本企業生產的產品在質量、價格、營銷策略相對較為穩定的情況下，眾多消費者的偶然的購買變動，就會演變成必然的目前該類產品相對穩定的市場變動情況。

　　因為原來購買本企業產品的消費者在將來可能仍然購買奉企業的產品，也可能轉移到購買別的企業的同類產品，而原來購買其他企業產品的消費者，在將來可能會轉移到購買本企產品，兩者互相抵消，就能形成相對穩定的轉移概率，只要通過市場調查，就能得到購買本企業和其他企業產品的轉移概率矩陣。

　　矩陣B稱為轉移概率矩陣，且要求矩陣的各行元素之和為1，即購買某種產品的消費者中，將來購買本企業產品和購買非本企業產品的消費者人數的比重之和等於1或100%。

　　3.用向量A和轉移概率矩陣B預測下一期本企業產品市場占有率。

　　若已知某產品目前市場占有率向量A，又根據凋查結果得到未來轉移概率矩陣B，則未來某產品各企業的市場占有率可以用A乘以B求得。

　　即A×B=

　　三、產品長期市場占有率預測的實證分析^[4]

　　現以某市某品牌彩電市場占有率預測為例說明馬爾可夫預測法在實際市場占有率頂測中的應用。

　　就全球而言，生產彩電的企業成下上萬，但我們最為關心的足本企業品牌彩電的市場占有率情況，為了在市場競爭中做到知己知彼，我們當然需要掌握其他彩電的市場占有情況．但成千上萬種彩電的市場占有情況我們不可能電不必要統統調查，只要調杏在彩電牛產企業中市場占有率最大，競爭嫩里最強，對本公司產品構成威脅的龍頭企業產品占有率情況，而把大量的其他彩電生產企業產品對如其他類，這樣，就能把成千上萬中彩電歸納為三大企業:即本企業、龍頭企業、其他企業。根據馬可夫預測法的預測步驟，

　　第一步，要調查目前市場的占有率情況，得到市場占有率向量A，若通過對本市一萬戶彩電用戶的隨機調查，得出目前市場占有率向量A=(0.2、0.5、0.3)即目前，在一萬戶用戶中，購買本企業彩電戶數占20%，購買龍頭企業品牌彩電用戶數占50%，還有30%是購買其他品牌彩電。

　　第二步，調查消費購買變動情況，得出整個市場彩電下一期的轉移概率矩陣B，若經過調查，這一萬戶消費者，下一期若購買彩電，在現在購買本企業彩電的消費者中，下一期仍然有50%購買本企業彩電，40%將購買龍頭企業的彩電，10%將購買其他牌號的彩電；現在購買龍頭企業彩電的消費者，下一期將有20%轉移購買我公司的生產的彩電；50%仍然購買龍頭企業彩電，而30%將購買其他牌號的彩電；現在購買其他品牌彩電，而有40%將轉移購買龍頭企業產品30%將購買本企業的彩電。據此可得出下期整個市場彩電購買情況變動的轉移概率矩陣。

　　第三步，用向量S乘以矩陣B即可得出下期本企業、龍頭企業及其他企業市場占有率分別為29％、45％和26％，第四步,若這種變化成為相對穩定狀況，也即轉移概率矩陣將對市場占有率不起變動作用，我們就可以計舒：出競爭相對穩定以後的王種牌號彩電的市場占有率。設x = (x₁x₂X₃)是穩定以後的市場占有率，則x不隨時間的推移而變化，也即市場占有率處於動態平衡，即有xB=x，詳細寫出來即為

　　即(x₁x₂X₃)

　　可以聯立方程組：

　　解方程組得x₁ = 32.92,x₂ = 36.36,x₃ = 30.69，本企業產品在市場較為穩定情況下的市場占有率為32.92％，龍頭企業為36.36％，其他企業為30.69％。

　　四、對使用馬爾可夫預測法的總結^[4]

　　馬爾可夫預測法是一種既實用叉較為方便的市場占有率預測方法+運用馬爾可夫預測法關鍵是要調查得到企業目前市場占有率情況，以及下期市場占有牢的改變方向，而要得到這些資料，必須進行抽樣淵查，在抽樣調查時，需要註意樣本的代表件，牢牢遵循抽樣調查的隨機原則，否則就得水到準確的預測結果。