轉移概率

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轉移概率(transition probability)

　　轉移概率是馬爾可夫鏈中的重要概念，若馬氏鏈分為m個狀態組成，歷史資料轉化為由這m個狀態所組成的序列。從任意一個狀態出發，經過任意一次轉移，必然出現狀態1、2、……，m中的一個，這種狀態之間的轉移稱為轉移概率。

　　當樣本中狀態m可能發生轉移的總次數為i，而由狀態m到未來任一時刻轉為狀態a_i的次數時，則在m+n時刻轉移到未來任一時刻狀態a_j的轉移概率為：

　　這些轉移移概率可以排成一個的轉移概率矩陣：P(m,m+n)(P_ij(m,m + n))

　　當m=1時為一階轉概率矩陣，時為高階概率轉移矩陣，有了概率轉移矩陣，就得到了狀態之間經一步和多步轉移的規律，這些規律就是貸款狀態間演變規律的表，當初始狀態已知時，可以查表做出不同時期的預測。

　　假定某大學有1萬學生，每人每月用1支牙膏，並且只使用“中華”牙膏與“黑妹”牙膏兩者之一。 根據本月（12月）調查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中華牙膏。 又據調查,使用黑妹牙膏的3000人中， 有60％的人下月將繼續使用黑妹牙膏， 40％的人將改用中華牙膏； 使用中華牙膏的7000人中， 有70％的人下月將繼續使用中華牙膏， 30％的人將改用黑妹牙膏。據此，可以得到如表－1所示的統計表。

　　　　　　　　　表－1 兩種牙膏之間的轉移概率

擬用	黑妹牙膏	中華牙膏
現用
黑妹牙膏	60％	40％
中華牙膏	30％	70％

　　上表中的4個概率就稱為狀態的轉移概率，而這四個轉移概率組成的矩陣

　　稱為轉移概率矩陣。可以看出， 轉移概率矩陣的一個特點是其各行元素之和為１。 在本例中，其經濟意義是：現在使用某種牙膏的人中，將來使用各種品牌牙膏的人數百分比之和為1。

　　2． 用轉移概率矩陣預測市場占有率的變化

　　有了轉移概率矩陣，就可以預測，到下個月（１月份）使用黑妹牙膏和中華牙膏的人數，計算過程如下：

　　即：1月份使用黑妹牙膏的人數將為3900，而使用中華牙膏的人數將為6100。

　　假定轉移概率矩陣不變，還可以繼續預測到2月份的情況為：

　　這裡稱為二步轉移矩陣，也即由12月份的情況通過2步轉移到2月份的情況。二步轉移概率矩陣正好是一步轉移概率矩陣的平方。一般地， k步轉移概率矩陣

　　正好是一步轉移概率矩陣的k次方。可以證明，k步轉移概率矩陣中,各行元素之和也都為1。