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轉移概率矩陣

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出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

轉移概率矩陣(Transition Probability Matrix)

目錄

[隱藏]

什麼是轉移概率矩陣

  轉移概率矩陣:矩陣各元素都是非負的,並且各行元素之和等於1,各元素用概率表示,在一定條件下是互相轉移的,故稱為轉移概率矩陣。如用於市場決策時,矩陣中的元素是市場或顧客的保留、獲得或失去的概率。P(k)表示k步轉移概率矩陣。

轉移概率矩陣的特征

  轉移概率矩陣有以下特征:

  ①,0≤Pij≤1

  ②\sum^{n}_{j-1}P_i j=1,即矩陣中每一行轉移概率之和等於1。

轉移概率矩陣的分析

  所謂矩陣,是指許多個數組成的一個數表。每個數稱為矩陣的元素。矩陣的表示方法是用括弧將矩陣中的元素括起來,以表示它是一個整體。如A就是一個矩陣。

  A=\begin{bmatrix} a_{11},a_{12}\cdots & a_{1n} \\ \bullet  \bullet & \bullet \\ \bullet \bullet & \bullet\\ \bullet  \bullet & \bullet\\  a_{21},a_{22}\cdots & a_{2n}\\ a_{m1},a_{m2}\cdots & a_{mn}\end{bmatrix}

  這是一個由m行n列的數構成的矩陣, 表示位於矩陣中第i行與第j列交叉點上的元素, 矩陣中的行數與列數可以相等,也可以不等。當它們相等時,矩陣就是一個方陣。

  由轉移概率組成的矩陣就是轉移概率矩陣。也就是說構成轉移概率矩陣的元素是一個個的轉移概率。

  R=\begin{bmatrix} P_{11},P_{12}\cdots & P_{1n} \\ \bullet  \bullet & \bullet \\ \bullet \bullet & \bullet\\ \bullet  \bullet & \bullet\\  P_{21},P_{22}\cdots & P_{2n}\\ P_{m1},P_{m2}\cdots & P_{mn}\end{bmatrix}

轉移概率與轉移概率矩陣[1]

  假定某大學有1萬學生,每人每月用1支牙膏,並且只使用“中華”牙膏與“黑妹”牙膏兩者之一。根據本月(12月)調查,有3000人使用黑妹牙膏,7000人使用中華牙膏。又據調查,使用黑妹牙膏的3000人中,有60%的人下月將繼續使用黑妹牙膏,40%的人將改用中華牙膏; 使用中華牙膏的7000人中, 有70%的人下月將繼續使用中華牙膏,30%的人將改用黑妹牙膏。據此,可以得到如表-1所示的統計表。

         表-1 兩種牙膏之間的轉移概率

  擬用黑妹牙膏中華牙膏
現用  
黑妹牙膏60%40%
中華牙膏30%70%

  上表中的4個概率就稱為狀態的轉移概率,而這四個轉移概率組成的矩陣

  B=\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}

  稱為轉移概率矩陣。可以看出, 轉移概率矩陣的一個特點是其各行元素之和為1。 在本例中,其經濟意義是:現在使用某種牙膏的人將來使用各種品牌牙膏的人數百分比之和為1。

  2. 用轉移概率矩陣預測市場占有率的變化

  有了轉移概率矩陣,就可以預測,到下個月(1月份)使用黑妹牙膏和中華牙膏的人數,計算過程如下:

  (3000.7000) \begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix} =(3900,6100)

  即:1月份使用黑妹牙膏的人數將為3900,而使用中華牙膏的人數將為6100。

  假定轉移概率矩陣不變,還可以繼續預測到2月份的情況為:

  (3900,6100)\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}

  =(3000,7000)\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}

  =(3000,7000)\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}^2=(4170,5830)

  這裡\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}^2稱為二步轉移矩陣,也即由12月份的情況通過2步轉移到2月份的情況。二步轉移概率矩陣正好是一步轉移概率矩陣的平方。一般地, k步轉移概率矩陣

  正好是一步轉移概率矩陣的k次方。可以證明,k步轉移概率矩陣中,各行元素之和也都為1。

轉移概率矩陣案例分析

案例一: 用轉移概率矩陣預測市場占有率的變化[1]

  有了轉移概率矩陣,就可以預測,到下個月(1月份)使用黑妹牙膏和中華牙膏的人數,計算過程如下:

  (3000,7000)\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}=(3900,6100)

  即:1月份使用黑妹牙膏的人數將為3900,而使用中華牙膏的人數將為6100。 假定轉移概率矩陣不變,還可以繼續預測到2月份的情況為:

  (3900,6100)\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}

  =(3000,7000)\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}

  =(3000,7000)\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}^2

  =(4170,5830)

  這裡\begin{bmatrix}60% & 40%\\30% & 70%\end{bmatrix}^2

  稱為二步轉移矩陣,也即由12月份的情況通過2步轉移到2月份的情況。二步轉移概率矩陣正好是一步轉移概率矩陣的平方。一般地, k步轉移概率矩陣正好是一步轉移概率矩陣的k次方。可以證明,k步轉移概率矩陣中,各行元素之和也都為1。

參考文獻

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Angle Roh,Dan,PFAFg,Zfj3000,caizhao,方小莉.

評論(共16條)

提示:評論內容為網友針對條目"轉移概率矩陣"展開的討論,與本站觀點立場無關。
221.236.54.* 在 2009年11月28日 09:46 發表

只有結果啊,算的過程是什麼,就是那個矩陣平方和第一月份結果的運算過程是什麼

回複評論
222.178.10.* 在 2010年3月26日 10:25 發表

表1中的70%和30%位置反了!

回複評論
Zfj3000 (討論 | 貢獻) 在 2010年3月26日 11:32 發表

222.178.10.* 在 2010年3月26日 10:25 發表

表1中的70%和30%位置反了!

  應沒錯,表1左欄的數據表示“現用”,而右欄的數據表“擬用”。

回複評論
61.50.133.* 在 2010年4月15日 09:46 發表

Zfj3000 (討論 | 貢獻) 在 2010年3月26日 11:32 發表

  應沒錯,表1左欄的數據表示“現用”,而右欄的數據表“擬用”。

表1中的70%和30%位置反了!

回複評論
Zfj3000 (討論 | 貢獻) 在 2010年4月15日 10:38 發表

61.50.133.* 在 2010年4月15日 09:46 發表

表1中的70%和30%位置反了!

感謝您的指正,經再次驗證,已對數據進行修改。

回複評論
124.133.126.* 在 2010年5月6日 22:31 發表

在何種情況下可以先知道市場占有率的百分數?

回複評論
59.57.204.* 在 2010年5月27日 19:43 發表

從哪裡能夠查到標準普爾信貸的轉移概率矩陣表

回複評論
121.22.213.* 在 2010年7月18日 20:42 發表

謝謝,但是想知道矩陣的冪有沒有簡單演算法

回複評論
175.181.206.* 在 2012年5月20日 20:53 發表

請問轉移矩陣轉移到極限的值如何算?

回複評論
211.140.199.* 在 2012年6月10日 15:48 發表

不錯,看資訊理論的時候忘了什麼是轉移概率矩陣,解釋的很到位

回複評論
220.173.136.* 在 2012年8月21日 09:44 發表

221.236.54.* 在 2009年11月28日 09:46 發表

只有結果啊,算的過程是什麼,就是那個矩陣平方和第一月份結果的運算過程是什麼

3000乘上60%再加上7000乘上30%就等於3900囖

回複評論
61.178.18.* 在 2013年1月10日 15:13 發表

還是有疑問 轉移矩陣的獲得是通過市場調查所得還是也可以由前後相連的兩個時間序列數據所獲得呢?? 還有 不是說馬爾科夫模型一般只適用於短期的趨勢分析與預測嗎??

回複評論
183.60.119.* 在 2013年4月15日 14:53 發表

121.22.213.* 在 2010年7月18日 20:42 發表

謝謝,但是想知道矩陣的冪有沒有簡單演算法

用matlab

回複評論
223.203.186.* 在 2013年10月23日 13:30 發表

用MATLAB求解用什麼函數

回複評論
221.11.108.* 在 2014年2月27日 11:56 發表

急需要論文《概率矩陣的性質及應用》,或者有關的資料,望能幫忙的朋友救急啊

回複評論
59.174.94.* 在 2015年2月8日 13:10 發表

121.22.213.* 在 2010年7月18日 20:42 發表

謝謝,但是想知道矩陣的冪有沒有簡單演算法

用matlab計算

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