转移概率

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转移概率(transition probability)

　　转移概率是马尔可夫链中的重要概念，若马氏链分为m个状态组成，历史资料转化为由这m个状态所组成的序列。从任意一个状态出发，经过任意一次转移，必然出现状态1、2、……，m中的一个，这种状态之间的转移称为转移概率。

　　当样本中状态m可能发生转移的总次数为i，而由状态m到未来任一时刻转为状态a_i的次数时，则在m+n时刻转移到未来任一时刻状态a_j的转移概率为：

　　这些转移移概率可以排成一个的转移概率矩阵：P(m,m+n)(P_ij(m,m + n))

　　当m=1时为一阶转概率矩阵，时为高阶概率转移矩阵，有了概率转移矩阵，就得到了状态之间经一步和多步转移的规律，这些规律就是贷款状态间演变规律的表，当初始状态已知时，可以查表做出不同时期的预测。

　　假定某大学有1万学生，每人每月用1支牙膏，并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。 根据本月（12月）调查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中华牙膏。 又据调查,使用黑妹牙膏的3000人中， 有60％的人下月将继续使用黑妹牙膏， 40％的人将改用中华牙膏； 使用中华牙膏的7000人中， 有70％的人下月将继续使用中华牙膏， 30％的人将改用黑妹牙膏。据此，可以得到如表－1所示的统计表。

　　　　　　　　　表－1 两种牙膏之间的转移概率

拟用	黑妹牙膏	中华牙膏
现用
黑妹牙膏	60％	40％
中华牙膏	30％	70％

　　上表中的4个概率就称为状态的转移概率，而这四个转移概率组成的矩阵

　　称为转移概率矩阵。可以看出， 转移概率矩阵的一个特点是其各行元素之和为１。 在本例中，其经济意义是：现在使用某种牙膏的人中，将来使用各种品牌牙膏的人数百分比之和为1。

　　2． 用转移概率矩阵预测市场占有率的变化

　　有了转移概率矩阵，就可以预测，到下个月（１月份）使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数，计算过程如下：

　　即：1月份使用黑妹牙膏的人数将为3900，而使用中华牙膏的人数将为6100。

　　假定转移概率矩阵不变，还可以继续预测到2月份的情况为：

　　这里称为二步转移矩阵，也即由12月份的情况通过2步转移到2月份的情况。二步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的平方。一般地， k步转移概率矩阵

　　正好是一步转移概率矩阵的k次方。可以证明，k步转移概率矩阵中,各行元素之和也都为1。