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順序統計量法

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出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

(重定向自顺序统计量)

目錄

[隱藏]

順序統計量法的定義

  定義:設\zeta_1,\zeta_2,\ldots,\zeta_n是總體ζ樣本,將其按大小排列為

  \zeta_1\le\zeta_2\le\ldots\le\zeta_n

  稱\zeta_1^*,\zeta_2^*,\ldots,\zeta_n^*為順序統計量。

  明顯地,\zeta_1^*\zeta_n^*分別是樣本\zeta_1,\zeta_2,\ldots,\zeta_n的最小值與最大值。稱

  \overline{\zeta}=\begin{cases}\zeta_{k+1}^*,n=2k+1\\\frac{\zeta^*_k+\zeta^*_{k+1}}{2},n=2k\end{cases}

  為樣本中位數。

  樣本中位數的取值規則是:將樣本值x_1,x_2,\ldots,x_n從小至大排成

  x_1^*\le x_2^*\le\ldots\le x_n^*

  當n=2k+1時,\overline{\zeta}取居中的數據x^*_{k+1}為其觀測值;當n=2k時,\overline{\zeta}取居中的兩個數據的平均值\frac{\zeta^*_k+\zeta^*_{k+1}}{2}為其觀測值.中位數\overline{\zeta}帶來了總體ζ取值的平均數的信息,因此用\overline{\zeta}估計總體ζ的數學期望是合適的.

  用樣本中位數\overline{\zeta}估計總體ζ的數學期望的方法稱數學期望的順序統計量估計法.

  順序統計量估計法的優點是計算簡便,且\overline{\zeta}不易受個別異常數據的影響.如果一組樣本值某一數據異常(如過於小或過於大),則這個異常數據可能是總體ζ的隨機性造成的,也可能是受外來干擾造成的(如工作人員粗心,記錄錯誤),當原因屬於後者,用樣本平均值\overline{x}估計E(x)顯然受到影響,但用樣本中位數\overline{\zeta}估計E(x)時,由於一個(甚至幾個)異常的數據不易改變中位數眚取值,所以估計值不易受到影響.

  即稱R=\zeta_n^*-\zeta_1^*為樣本極差.

  由於樣本極差帶來總體眚取值離散程度的信息,因此可以用R作為對總體ζ標準差σ的估計(R與σ量綱相同).用樣本極差對總體ζ標準差作估計的方法稱為極差估計法.

  極差估計法的優點是計算簡便,但不如用S可靠,n越大兩者可靠的程度差別越大,這時一般不用極差估計

順序統計量法主要適用範圍

  順序統計量法主要適用於正態總體.當總體不是正態分佈,但是連續型且分佈密度對稱時,也常用樣本中位數來估計總體的期望。

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