順序統計量法

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順序統計量法的定義

　　定義：設 $\zeta_1,\zeta_2,\ldots,\zeta_n$ 是總體 $ζ$ 的樣本，將其按大小排列為

　　 $\zeta_1\le\zeta_2\le\ldots\le\zeta_n$

　　稱 $\zeta_1^*,\zeta_2^*,\ldots,\zeta_n^*$ 為順序統計量。

　　明顯地， $\zeta_1^*$ 與 $\zeta_n^*$ 分別是樣本 $\zeta_1,\zeta_2,\ldots,\zeta_n$ 的最小值與最大值。稱

　　 $\overline{\zeta}=\begin{cases}\zeta_{k+1}^*,n=2k+1\\\frac{\zeta^*_k+\zeta^*_{k+1}}{2},n=2k\end{cases}$

　　為樣本中位數。

　　樣本中位數的取值規則是：將樣本值 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 從小至大排成

　　 $x_1^*\le x_2^*\le\ldots\le x_n^*$

　　當n=2k+1時， $\overline{\zeta}$ 取居中的數據 $x^*_{k+1}$ 為其觀測值；當n=2k時， $\overline{\zeta}$ 取居中的兩個數據的平均值 $\frac{\zeta^*_k+\zeta^*_{k+1}}{2}$ 為其觀測值.中位數 $\overline{\zeta}$ 帶來了總體 $ζ$ 取值的平均數的信息，因此用 $\overline{\zeta}$ 估計總體 $ζ$ 的數學期望是合適的.

　　用樣本中位數 $\overline{\zeta}$ 估計總體 $ζ$ 的數學期望的方法稱數學期望的順序統計量估計法.

　　順序統計量估計法的優點是計算簡便，且 $\overline{\zeta}$ 不易受個別異常數據的影響．如果一組樣本值某一數據異常(如過於小或過於大)，則這個異常數據可能是總體 $ζ$ 的隨機性造成的，也可能是受外來干擾造成的(如工作人員粗心，記錄錯誤)，當原因屬於後者，用樣本平均值 $\overline{x}$ 估計E(x)顯然受到影響，但用樣本中位數 $\overline{\zeta}$ 估計E(x)時，由於一個(甚至幾個)異常的數據不易改變中位數眚取值，所以估計值不易受到影響．