顺序统计量法

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顺序统计量法的定义

  定义:设\zeta_1,\zeta_2,\ldots,\zeta_n是总体ζ样本,将其按大小排列为

  \zeta_1\le\zeta_2\le\ldots\le\zeta_n

  称\zeta_1^*,\zeta_2^*,\ldots,\zeta_n^*为顺序统计量。

  明显地,\zeta_1^*\zeta_n^*分别是样本\zeta_1,\zeta_2,\ldots,\zeta_n的最小值与最大值。称

  \overline{\zeta}=\begin{cases}\zeta_{k+1}^*,n=2k+1\\\frac{\zeta^*_k+\zeta^*_{k+1}}{2},n=2k\end{cases}

  为样本中位数。

  样本中位数的取值规则是:将样本值x_1,x_2,\ldots,x_n从小至大排成

  x_1^*\le x_2^*\le\ldots\le x_n^*

  当n=2k+1时,\overline{\zeta}取居中的数据x^*_{k+1}为其观测值;当n=2k时,\overline{\zeta}取居中的两个数据的平均值\frac{\zeta^*_k+\zeta^*_{k+1}}{2}为其观测值.中位数\overline{\zeta}带来了总体ζ取值的平均数的信息,因此用\overline{\zeta}估计总体ζ的数学期望是合适的.

  用样本中位数\overline{\zeta}估计总体ζ的数学期望的方法称数学期望的顺序统计量估计法.

  顺序统计量估计法的优点是计算简便,且\overline{\zeta}不易受个别异常数据的影响.如果一组样本值某一数据异常(如过于小或过于大),则这个异常数据可能是总体ζ的随机性造成的,也可能是受外来干扰造成的(如工作人员粗心,记录错误),当原因属于后者,用样本平均值\overline{x}估计E(x)显然受到影响,但用样本中位数\overline{\zeta}估计E(x)时,由于一个(甚至几个)异常的数据不易改变中位数眚取值,所以估计值不易受到影响.

  即称R=\zeta_n^*-\zeta_1^*为样本极差.

  由于样本极差带来总体眚取值离散程度的信息,因此可以用R作为对总体ζ标准差σ的估计(R与σ量纲相同).用样本极差对总体ζ标准差作估计的方法称为极差估计法.

  极差估计法的优点是计算简便,但不如用S可靠,n越大两者可靠的程度差别越大,这时一般不用极差估计

顺序统计量法主要适用范围

  顺序统计量法主要适用于正态总体.当总体不是正态分布,但是连续型且分布密度对称时,也常用样本中位数来估计总体的期望。

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