阿基裡斯悖論

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　　公元前5世紀，芝諾為了捍衛他老師巴門尼德的學說，用他關於無限、連續及部分和等知識，提出了著名的運動悖論和多悖論，以表明運動和多是不可能的。他的結論在常人看來當然很荒謬，但他居然給出了乍看起來頗令人信服的論證，故人們常常稱這些論證構成了悖論或佯謬。他的悖論在亞里士多德的《物理學》里被概括為以下四個：二分法、阿喀琉斯、飛矢不動、運動場。其中最著名的是阿基裡斯和飛矢不動。

　　悖論：若慢跑者在快跑者前一段，則快跑者永遠趕不上慢跑者，因為追趕者必須首先跑到被追者的出發點，而當他到達被追者的出發點，慢跑者又向前了一段，又有新的出發點在等著它，有無限個這樣的出發點。

　　阿基裡斯是希臘傳說中跑得最快的人。一天他正在散步，忽然發現在他前面100米遠的地方有一隻大烏龜正在慢慢地向前爬。 烏龜說：“阿基裡斯! 誰說你跑得最快?你連我都追不上!”阿基裡斯回答說：“胡說!我的速度比你快何止百倍!就算剛好是你的10倍，我也馬上就可以超過你!”烏龜說：“就照你說的，我們來試一試吧!當你跑到我現在這個地方，我已經向前爬了10米。當你再向前跑過10米時，我又爬到前面去了。

　　每次你追到我剛剛經過的地方，我都又向前爬了一段距離。你只能離我越來越近，卻永遠也追不上我!”阿基裡斯說：“哎呀!我明明知道能追上你，可你說的好像也有道理，這是怎麼回事呢? ”這個有趣的悖論，是公元前5世紀古希臘哲學家芝諾提出來的。在2 000多年的時間里，它使數學家和哲學家傷透了腦筋。先看下麵的圖：

　　阿基裡斯在A點時，烏龜在B點；他追到B，它爬到C；他追到C，它爬到D，……我們看到，阿基裡斯離烏龜越來越近,也就是，AB，BC，CD，……這些線段越來越短，每個都只有前一個的1/10,但是每一個線段的長度都不會是0，這就是說,當阿基裡斯按上面的過程去追烏龜時，在任何有限次之內他都追不上烏龜。 那麼，阿基裡斯真的追不上烏龜了嗎? 當然不是。所以會產生上述困難，是因為忽視了一個十分重要的因素：由於那些線段越來越短，阿基裡斯跑完那些線段所用的時間也越來越短，下一次只相當於上一次的1/10。芝諾悖論的關鍵是使用了兩種不同的時間測度。原來，我們用來測量時間的任何一種“鐘”都是依靠一種周期性的過程作標準的。如太陽每天的東升西落，月亮的圓缺變化，一年四季的推移，鐘擺的運動等等。人們正是利用它們迴圈或重覆的次數作為時間的測量標準的。芝諾悖論中除了普通的鐘以外，還有另一種很特別的“鐘”，就是用阿基裡斯每次到達上次烏龜到達的位置作為一個迴圈。

　　用這種重覆性過程測得的時間稱為“芝諾時”。例如，當阿基裡斯在第n次到達烏龜在第n次的起始點時，芝諾時記為n，這樣，在芝諾時為有限的時刻,阿基裡斯總是落在烏龜後面。但是在我們的鐘錶上，假如阿基裡斯跑完AB(即100米)用了1分鐘，那麼他跑完BC只要6秒鐘，跑完CD只需 0.6秒，實際上，他只需要1 又1/9分鐘就可以追上烏龜了。

　　因此，芝諾悖論的產生原因，是在於“芝諾時”不可能度量阿基裡斯追上烏龜後的現象。在芝諾時達到無限後，正常計時仍可以進行，只不過芝諾的“鐘”已經無法度量它們了。 這個悖論實際上是反映時空並不是無限可分的，運動也不是連續的。

• 芝諾悖論
• 飛矢不動悖論