誤差修正模型

出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

　　誤差修正模型（Error Correction Model）

　　對於非穩定時間序列，可通過差分的方法將其化為穩定序列，然後才可建立經典的回歸分析模型。

　　如：建立人均消費水平（Y）與人均可支配收入（X）之間的回歸模型：

　　Y_t = α₀ + α₁X_t + μ_t

如果Y與X具有共同的向上或向下的變化趨勢,進行差分，X,Y成為平穩序列，建立差分回歸模型得：

　　ΔY_t = α₁ΔX_t + v_t 式中，v_t = μ_t − μ_{t − 1} 　　 　　 然而，這種做法會引起兩個問題： (1)如果X與Y間存在著長期穩定的均衡關係 Y_t = α₀ + α₁X_t + μ_t 且誤差項μ_t不存在序列相關，則差分式 ΔY_t = α₁ΔX_t + v_t 中的v_t是一個一階移動平均時間序列，因而是序列相關的；(2)如果採用差分形式進行估計，則關於變數水平值的重要信息將被忽略，這時模型只表達了X與Y間的短期關係，而沒有揭示它們間的長期關係。

　　因為，從長期均衡的觀點看，Y在第t期的變化不僅取決於X本身的變化，還取決於X與Y在t-1期末的狀態，尤其是X與Y在t-1期的不平衡程度。 另外，使用差分變數也往往會得出不能令人滿意回歸方程。

例如，使用ΔY₁ = ΔX_t + v_t 回歸時，很少出現截距項顯著為零的情況，即我們常常會得到如下形式的方程： 式中， （1）

　　在X保持不變時，如果模型存在靜態均衡（static equilibrium），Y也會保持它的長期均衡值不變。

　　但如果使用（1）式，即使X保持不變，Y也會處於長期上升或下降的過程中，這意味著X與Y間不存在靜態均衡。這與大多數具有靜態均衡的經濟理論假說不相符。可見，簡單差分不一定能解決非平穩時間序列所遇到的全部問題，因此，誤差修正模型便應運而生。

　　誤差修正模型（Error Correction Model，簡記為ECM）是一種具有特定形式的計量經濟學模型，它的主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo於1978年提出的，稱為DHSY模型。

為了便於理解，我們通過一個具體的模型來介紹它的結構。

　　假設兩變數X與Y的長期均衡關係為:

　　Y_t = α₀ + α₁X_t + μ_t 　　(2)

　　由於現實經濟中X與Y很少處在均衡點上，因此實際觀測到的只是X與Y間的短期的或非均衡的關係，假設具有如下(1,1)階分佈滯後形式

　　(3)

該模型顯示出第t期的Y值，不僅與X的變化有關，而且與t-1期X與Y的狀態值有關。

　　由於變數可能是非平穩的，因此不能直接運用OLS法。對(3)式適當變形得： 　　(4)

式中，λ = 1 − μ，，

　　如果将（4）中的参数α₀，α₁与Y_t = α₀ + α₁X_t + μ_t中的相应参数视为相等，则（4）式中括号内的项就是t-1期的非均衡误差项。

　　（4）式表明：Y的变化决定于X的变化以及前一时期的非均衡程度。同时，（4）式也弥补了简单差分模型ΔY₁ = ΔX_t + v_t的不足，因为该式含有用X、Y水平值表示的前期非均衡程度。因此，Y的值已对前期的非均衡程度作出了修正。(4)式称为一阶误差修正模型(first-order error correction model)。

　　（4）式可以写成：

其中:ecm表示误差修正项。由分布滞后模型知：一般情况下|μ|<1 ，由关系式μ得0<λ<1。可以据此分析ecm的修正作用：

　　(1)若(t-1)时刻Y大于其长期均衡解α₀ + α₁X，ecm为正，则(-λecm)为负，使得ΔY_t减少；

　　(2)若(t-1)时刻Y小于其长期均衡解α₀ + α₁X，ecm为负，则(-λecm)为正，使得ΔY_t增大。

　　体现了长期非均衡误差对Y_t的控制。

需要注意的是：在实际分析中，变量常以对数的形式出现。

　　其主要原因在于变量对数的差分近似地等于该变量的变化率，而经济变量的变化率常常是稳定序列，因此适合于包含在经典回归方程中。

于是:

(1)长期均衡模型

Y_t = α₀ + α₁X_t + μ_t

中的α₁可视为Y关于X的长期弹性（long-run elasticity）

(2)短期非均衡模型

中的β₁可视为Y关于X的短期弹性（short-run elasticity）。

更复杂的误差修正模型可依照一阶误差修正模型类似地建立。

　　（1）Granger 表述定理

　　误差修正模型有许多明显的优点：如 a）一阶差分项的使用消除了变量可能存在的趋势因素，从而避免了虚假回归问题； b）一阶差分项的使用也消除模型可能存在的多重共线性问题； c）误差修正项的引入保证了变量水平值的信息没有被忽视； d）由于误差修正项本身的平稳性，使得该模型可以用经典的回归方法进行估计，尤其是模型中差分项可以使用通常的t检验与F检验来进行选取。

因此，一个重要的问题就是：是否变量间的关系都可以通过误差修正模型来表述？

就此问题，Engle 与 Granger 1987年提出了著名的Grange表述定理（Granger representaion theorem）：

如果变量X与Y是协整的，则它们间的短期非均衡关系总能由一个误差修正模型表述：

ΔY_t = lagged(ΔY,ΔX) − λμ_{t − 1} + ε_t

式中，μ_{t − 1}是非均衡误差项或者说成是长期均衡偏差项， λ是短期调整参数。

对于(1,1)阶自回归分布滞后模型

如果 Yt~I(1), Xt~I(1)  ; 那么 的左边ΔY_t~I(0) ，右边的ΔX_t ~I(0) ，因此，只有Y与X协整，才能保证右边也是I(0)。

因此，建立误差修正模型，需要

首先对变量进行协整分析，以发现变量之间的协整关系，即长期均衡关系，并以这种关系构成误差修正项。 然后建立短期模型，将误差修正项看作一个解释变量，连同其它反映短期波动的解释变量一起，建立短期模型，即误差修正模型。

（2）Engle-Granger两步法

由协整与误差修正模型的的关系，可以得到误差修正模型建立的E-G两步法： 第一步，进行协整回归（OLS法），检验变量间的协整关系，估计协整向量（长期均衡关系参数）； 第二步，若协整性存在，则以第一步求到的残差作为非均衡误差项加入到误差修正模型中，并用OLS法估计相应参数。 需要注意的是：在进行变量间的协整检验时，如有必要可在协整回归式中加入趋势项，这时，对残差项的稳定性检验就无须再设趋势项。 另外，第二步中变量差分滞后项的多少，可以残差项序列是否存在自相关性来判断，如果存在自相关，则应加入变量差分的滞后项。

（3）直接估计法

也可以采用打开误差修整模型中非均衡误差项括号的方法直接用OLS法估计模型。 但仍需事先对变量间的协整关系进行检验。

如对双变量误差修正模型

可打开非均衡误差项的括号直接估计下式：

这时短期弹性与长期弹性可一并获得。 需注意的是，用不同方法建立的误差修正模型结果也往往不一样。