詹森不等式

用手机看条目

出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

詹森不等式(Jensen's inequality),也譯為延森不等式、琴生不等式

目錄

詹森不等式簡介

  詹森不等式以丹麥數學家約翰·詹森(Johan Jensen)命名。它給出積分的凸函數值和凸函數的積分值間的關係。

  
Jensen's inequality generalizes the statement that a secant line of a convex function lies above the graph.
放大
Jensen's inequality generalizes the statement that a secant line of a convex function lies above the graph.

詹森不等式的一般形式

  詹森不等式可以用測度論概率論的語言給出。這兩種方式都表明同一個很一般的結果。

測度論的版本

  假設μ是集合Ω的正測度,使得μ(Ω) = 1。若g是勒貝格可積的實值函數,而\varphi是在g的值域上定義的凸函數,則

\varphi\left(\int_{\Omega} g\, d\mu\right) \le \int_\Omega \varphi \circ g\, d\mu

概率論的版本

  以概率論的名詞,μ是個概率測度。函數g換作實值隨機變數X(就純數學而言,兩者沒有分別)。在Ω空間上,任何函數相對於概率測度μ的積分就成了期望值。這不等式就說,若\varphi是任一凸函數,則

\varphi\left(E(X)\right) \leq E(\varphi(X))\,

詹森不等式的特例

機率密度函數的形式

  假設Ω是實數軸上的可測子集,而f(x)是非負函數,使得

\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = 1

  以概率論的語言,f是個機率密度函數。

  詹森不等式變成以下關於凸積分的命題:

  若g是任一實值可測函數,φg的值域中是凸函數,則

\varphi\left(\int_{-\infty}^\infty g(x)f(x)\, dx\right) \le \int_{-\infty}^\infty \varphi(g(x)) f(x)\, dx

  若g(x) = x,則這形式的不等式簡化成一個常用特例:

\varphi\left(\int_{-\infty}^\infty x\, f(x)\, dx\right) \le \int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,f(x)\, dx

有限形式

  若Ω是有限集合\{x_1,x_2,\ldots,x_n\},而μΩ上的正規計數測度,則不等式的一般形式可以簡單地用和式表示:

\varphi\left(\sum_{i=1}^{n} g(x_i)\lambda_i \right) \le \sum_{i=1}^{n} \varphi(g(x_i))\lambda_i

  其中\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = 1, \lambda_i \ge 0

  若φ是凹函數,只需把不等式符號調轉。

  假設x_1, x_2, \ldots, x_n是正實數,g(x) = xλi = 1 / n\varphi(x) = \log(x)。上述和式便成了

\log\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{n} \right) \ge \sum_{i=1}^{n} \frac{\log(x_i)}{n}

  兩邊取自然指數就得出熟悉的平均數不等式:

\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}

  這不等式也有無限項的離散形式。

統計物理學

  統計物理學中,若凸函數是指數函數,詹森不等式特別重要:

e^{\langle X \rangle} \leq \left\langle e^X \right\rangle

  其中方括弧表示期望值,是以隨機變數X的某個概率分佈算出。這個情形的證明很簡單(參見Chandler, Sec. 5.5):在以下等式的第三個指數函數

\left\langle e^X \right\rangle = e^{\langle X \rangle} \left\langle e^{X - \langle X \rangle} \right\rangle

  套用不等式

e^X \geq 1+X \,

  即得出所求的不等式。

參考文獻

  • Walter Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. 0-07-054234-1. David Chandler. Introduction to Modern Statistical Mechanics. Oxford. 0-19-504277-8.
本條目對我有幫助65
MBA智库APP

扫一扫,下载MBA智库APP

分享到:
  如果您認為本條目還有待完善,需要補充新內容或修改錯誤內容,請編輯條目

本条目由以下用户参与贡献

Ciu666,Vulture.

評論(共1條)

提示:評論內容為網友針對條目"詹森不等式"展開的討論,與本站觀點立場無關。
123.150.182.* 在 2012年4月15日 08:06 發表

真強!

回複評論

發表評論請文明上網,理性發言並遵守有關規定。

打开APP

以上内容根据网友推荐自动排序生成