矩陣決策法

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出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

矩陣決策法的基本要素

　　1.狀態變數：指可能影響決策後果的各種客觀外界情況或自然狀態．是不可控因素，記為:

　　 $\mathbf{x_j(j=1,2,....,n),}$ 並設 $\mathbf{X=\mid x_1,x_2,....,x_n \mid}$ 為所有自然狀態的集合。

　　2.決策變數：指決策者所採取的各種行動方案,是可控因素。記為: $\mathbf{A_i(i=1,2,....,m)}$ ,並設 $\mathbf{A={A_1,A_2,....A_m}}$ 為所有方案的集合。

　　3.概率：指各種自然狀態出現的概率。記為: $\mathbf{P(x_j)}$ 且 $\mathbf{0\le P(x_j) \le1}$ , $\sum_{j=1}^n p(x_j=1)$

　　其中 $\mathbf{P(x_j)}$ 可以是先驗概率，也可以是後驗概率。

　　4.損益值：在第j種自然狀態下選取第種方案所得結果的損益值，記為: $\mathbf{V_{i,j}}$ 。

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矩陣決策法的求解方法

　　由實際問題給出的條件列出矩陣決策表。一般情況下，是將上述四要素列表如下表:

　　由表l所給的具體數據，利用期望公式: $\mathbf{E(A_i)=}$ $\sum_{j=1}^n V_{i,j}p(x_j)$

　　令 $B=\begin{bmatrix} V_11 & \cdots & V_1n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ V_m1 & \cdots & V_mn\end{bmatrix}$ , $P=\begin{Bmatrix} p(x_1) \\ p(x_2) \\ ... \\ p(x_n) \end{Bmatrix}$ , $E(A)=\begin{Bmatrix} E(A_1) \\ E(A_2) \\ ... \\ E(A_n) \end{Bmatrix}$ 。

　　則有 $E(A)=BP=\begin{bmatrix} V_11 & \cdots & V_1n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ V_m1 & \cdots & V_mn\end{bmatrix}\begin{Bmatrix} p(x_1) \\ p(x_2) \\ ... \\ p(x_n) \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} \sum_{j=1}^n V_{1,j}p(x_j) \\ \sum_{j=1}^n V_{2,j}p(x_j) \\ ... \\ \sum_{j=1}^n V_{m,j}p(x_j) \end{Bmatrix}$

　　利用最優期望準則公式 $E(A_1)=\max \mid E(A_1),E(A_2),......,E(A_m) \mid$ ，確定最優行動方案。

　　當我們利用公式(1)計算出各行動方案的期望值後，加以比較．再由決策目標要求選擇期望值最大(或最小)的行動方案為最優方案。如果表1中的 $\mathbf{V_{i,j}}$ ,是收益值．且決策目標使收益最大，則期望值最大的為最優行動方案；如果 $\mathbf{V_{i,j}}$ ,決策目標是使損失最小，則選取期望值最小的為最優行動方案。

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矩陣決策法的應用舉例^[1]

　　例1：某出租汽車公司在甲、乙、丙三處設立了-租車與還車處，顧客可以在甲、乙、丙任一處租車．也可在任一處還車。已知顧客在三處租車是等可能的．還車概率如下表所示．如果該公司想選擇一處設立汽車保修廠．間設在何處比較適宜?

　　解：將還車概率看作設立汽車保修廠的損失值。

　　令 $B=\begin{bmatrix} 0.8 & \cdots & 0.2 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0.6\end{bmatrix}$ , $P=\begin{Bmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{Bmatrix}$ ,

　　 $E(A)=\begin{bmatrix} 0.8 & \cdots & 0.2 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0.6\end{bmatrix}$ $P=\begin{Bmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} 0.40 \\ 0.13 \\ 0.43 \end{Bmatrix}$

　　由計算出的期望值看到，經過一定時期的經營後，該公司的每部計程車將被還到甲處的概率為0.40，還到乙處的概率為0.13，還到丙處的概率為0.47。故保修廠應設在丙處為宜。

　　例2:一位病人患某種疾病，該疾病表現的病型為： $X 1$ , $X 2$ , $X 3$ , $X 4$ 。醫生可以採取下述五種治療方中的一種：放射療法（ $A 1$ ），化學療法（ $A 2$ ），手術療法（ $A 3$ ），藥物療法（ $A 4$ ）和針灸療法（ $A 5$ ）。已知此疾病表現為各種病型的概率p(x_j)及各種治療方案對不同病型的損益值 $V i j$ 如下表所示。試確定最優治療方案。

　　解令 $B=\begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 6 & 9 \\ 5 & 7 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 8 & 8 \\ 3 & 5 & 5 & 5 \end{bmatrix}$ , $P=\begin{bmatrix}0.2 \\ 0.4 \\ 0.1 \\ 0.3 \end{bmatrix}$ ,則 $E(A)=BP=\begin{bmatrix} 5.5 \\ 5.3 \\ 5.6 \\ 5.6 \\ 4.6 \end{bmatrix}$