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生長曲線(S曲線)預測法

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生長曲線(S曲線)預測法(Growth curve)

目錄

1 什麼是生長曲線(S曲線)預測法
2 生長曲線預測模型[1]
3 相關條目
4 參考文獻

什麼是生長曲線(S曲線)預測法

　　生長曲線預測法也稱生長曲線模型（Growth curve models）是預測事件的一組觀測數據隨時間的變化符合生長曲線的規律，以生長曲線模型進行預測的方法。一般來說，事物總是經過發生、發展、成熟三個階段，而每一個階段的發展速度各不相同。通常在發生階段，變化速度較為緩慢；在發展階段，變化速度加快；在成熟階段，變化速度又趨緩慢，按上述三個階段發展規律得到的變化曲線稱為生長曲線。

生長曲線預測模型^[1]

皮爾模型

　　皮爾生長曲線的一般模型為

　　 $\frac x{K}{1+e^{f(x)}}$

　　式中，K為常數(如某種耐用消費品飽和狀態時的普及率)； $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n$ 。

　　常用的皮爾生長曲線模型為

　　 $y=\frac{K}{1+be^{-ax}}$ (2)　　a>0,b>0

　　這時f(x)是x的線性函數，且具有負斜率。見下圖是皮爾曲線模型的圖。

林德諾模型

　　常用於新技術發展和新產品銷售的一種預測方法。

龔帕茲模型

　　龔帕茲(生長)曲線是一種常用曲線，其形式為

　　 $y=K\cdot a^{b^t}$ K＞0，a＜1，0＜b＜1　　(11)

　　對參數a、b、K的不同取值，龔帕茲模型有不同的形狀和變化趨勢。圖(a)為1n a＜0，0＜b＜l時的龔帕茲曲線；圖(b)為1n a＜0，b＞1時的曲線；圖(c)為1n a＞0，0＜b＜1時的曲線；圖(d)為ln a＞0，b＞1時的曲線。

　　給定時間序列 $y_i,i=1,2,\ldots,N)$ ,只要求得其中的三個參數值a、b、K，就可以用來求得未來周期的預測值。

　　求參數a、b、K的方法有多種，如非線性回歸分析、特殊函數的最小二乘法等。這裡介紹一種比較簡單的方法，其步驟如下：

　　(1)將N個數據分成三組(這裡假設N=3r)；

　　(2)求各組的 $y i$ 值的對數和，即求：

　　 $S_t=\sum_{i=1}^r\ln y_i,S_2=\sum_{i=r+1}^{2r}\ln y_i,S_3=\sum=_{i=2r+1}^{3r}\ln y_i$

　　(3)利用下列公式計算參數a、b、K的值；

　　 $b^r=\frac{S_3-S_2}{S_2-S_1}$ (12)

　　 $\ln a=\frac{(S_2-S_1)(b-1)}{(b^r-1)^2\cdot b}$ (13)

　　 $\ln K=\frac{s_1-\frac{(b^r-1)\cdot b}{b-1}\cdot \ln a}{r}$ (14)

　　(4)直接計算K值的公式為

　　 $\ln K=\frac{\frac{1}{r}(S_1S_3-S_2^2)}{S_1+S_3-2S_2}$ (15)

相關條目

參考文獻

↑ 李華,胡奇英.預測與決策[M].ISBN:7-5606-1495-7/G303;C934.西安電子科技大學出版社.2005(05)

取自"https://wiki.mbalib.com/zh-tw/%E7%94%9F%E9%95%BF%E6%9B%B2%E7%BA%BF%28S%E6%9B%B2%E7%BA%BF%29%E9%A2%84%E6%B5%8B%E6%B3%95"

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