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生长曲线(S曲线)预测法

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出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

生长曲线(S曲线)预测法(Growth curve)

目录

[隐藏]

什么是生长曲线(S曲线)预测法

  生长曲线预测法也称生长曲线模型(Growth curve models)是预测事件的一组观测数据随时间的变化符合生长曲线的规律,以生长曲线模型进行预测的方法。一般来说,事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段,而每一个阶段的发展速度各不相同。通常在发生阶段,变化速度较为缓慢;在发展阶段,变化速度加快;在成熟阶段,变化速度又趋缓慢,按上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线。

生长曲线预测模型[1]

  • 皮尔模型

  皮尔生长曲线的一般模型为

  \frac x{K}{1+e^{f(x)}}

  式中,K为常数(如某种耐用消费品饱和状态时的普及率);f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n

  常用的皮尔生长曲线模型为

  y=\frac{K}{1+be^{-ax}}(2)  a>0,b>0

  这时f(x)是x的线性函数,且具有负斜率。见下图是皮尔曲线模型的图。

皮尔曲线模型的图

  • 林德诺模型

  常用于新技术发展和新产品销售的一种预测方法。

  • 龚帕兹模型

  龚帕兹(生长)曲线是一种常用曲线,其形式为

  y=K\cdot a^{b^t} K>0,a<1,0<b<1  (11)

  对参数a、b、K的不同取值,龚帕兹模型有不同的形状和变化趋势。图(a)为1n a<0,0<b<l时的龚帕兹曲线;图(b)为1n a<0,b>1时的曲线;图(c)为1n a>0,0<b<1时的曲线;图(d)为ln a>0,b>1时的曲线。

Image:龚帕兹(生长)曲线.jpg

  给定时间序列y_i,i=1,2,\ldots,N),只要求得其中的三个参数值a、b、K,就可以用来求得未来周期的预测值。

  求参数a、b、K的方法有多种,如非线性回归分析、特殊函数的最小二乘法等。这里介绍一种比较简单的方法,其步骤如下:

  (1)将N个数据分成三组(这里假设N=3r);

  (2)求各组的yi值的对数和,即求:

  S_t=\sum_{i=1}^r\ln y_i,S_2=\sum_{i=r+1}^{2r}\ln y_i,S_3=\sum=_{i=2r+1}^{3r}\ln y_i

  (3)利用下列公式计算参数a、b、K的值;

  b^r=\frac{S_3-S_2}{S_2-S_1}(12)

  \ln a=\frac{(S_2-S_1)(b-1)}{(b^r-1)^2\cdot b}(13)

  \ln K=\frac{s_1-\frac{(b^r-1)\cdot b}{b-1}\cdot \ln a}{r}(14)

  (4)直接计算K值的公式为

  \ln K=\frac{\frac{1}{r}(S_1S_3-S_2^2)}{S_1+S_3-2S_2}(15)

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参考文献

  1. 李华,胡奇英.预测与决策[M].ISBN:7-5606-1495-7/G303;C934.西安电子科技大学出版社.2005(05)
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