次協調邏輯

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　　次協調邏輯是嘗試處理矛盾的邏輯。次協調邏輯是不瑣碎的（non-trivial）邏輯，它允許矛盾。更加特殊的，它允許斷言一個陳述和它的否定，而不導致謬論。在標準邏輯中，從矛盾中可以推導出任何東西；這叫做ex contradictione quodlibet（ECQ），也叫做爆炸原理。次協調邏輯就是ECQ不成立的邏輯系統。

　　次協調邏輯可以用來建模有矛盾的信仰系統，但不是任何東西都能從它推導出來的。在標準邏輯中，必須小心的防止形成說謊者悖論的陳述；次協調邏輯由於不需要排除這種陳述而更加簡單（儘管它仍然必須排除Curry悖論）。此外，次協調邏輯可以潛在的剋服哥德爾不完備定理蘊涵的算術限制，而是完備的。

　　發明次協調邏輯有很多動機，它們都引起對經典邏輯的會導致反直覺結果的協調性（一致性）的不滿足。

　　語義悖論，特別是自引用，提供了質問經典邏輯的形式根據。考慮說謊者悖論（這裡的"<L>"表示"L這個命題"）:

　　（L）<L>不是真的。把L塞入自身，我們得到

　　“<L>不是真的”不是真的

　　看起來它說的事情同於

　　（L' ）L是真的

和P之間聯繫--就是說在命題和命題所對應的事態之間的聯繫。粗略的說，我們稱這種關係為"真理"，所以我們能夠在某種意義上，移入和移出引號和標記命題的括弧）。並且，如果我們繼續運做在關於真理本質的無可置疑的質朴假定之上，則L看起來是L' 的否定。所以，這是一個矛盾。（集合論和高階邏輯的羅素悖論緣於類似的問題。） 　　經典邏輯（或者更一般的說協調邏輯）的堅定支持者可以簡單的忽略這種問題，或者簡單的說像L這樣的句子是無意義的。可以理解的，次協調邏輯學家機警的接受了這些句子；畢竟，"這個句子是假的"好像是完全連貫的甚至發人深省的句子。接受遵照像L這樣的句子和它的外在否定L' 同樣是真理的立場，是擺脫這種語義悖論的一種可能方式。 　　次協調邏輯雙面真理說的支持者Graham Priest，提供了一個例子，以表示無矛盾律和雙面真理說對前提定義的看法差異： 　　“一位站在門口的人一半在門裡一半在門外。”對於"我在屋裡"和與它否定的"我不在屋裡"的邏輯辨證，無矛盾律認為“站在門口的人並非完全在屋內，故只屬於"我不在屋裡"且不屬於"我在屋裡"”；雙面真理說則同時支持"我在屋裡"和"我不在屋裡"為真。可以看出，相對於無矛盾律的嚴格前提相信邏輯函數單射；雙面真理說則相信邏輯命題屬於四值概念（見相干邏輯）。要註意的是，這裡無矛盾律的主張並非排中律，因為這個命題有真值。

　　在經典邏輯中，在邏輯語言內任何句子都可以從否定矛盾集合中推導出來。類似的模型理論性質對經典邏輯是成立的。這叫做爆炸原理，因為一個單一的矛盾就確保推理可以在任何任意方向上進行。經典邏輯、直覺邏輯和多數其他邏輯遭受著這個問題。開發次協調邏輯是為了避免爆炸原理的有害效果。

　　為瞭解決這個問題，次協調邏輯可以簡單的拒絕爆炸原理。當然，這麼做可不是平凡的事情。爆炸是我們析取的真值泛函概念的直接推論；要拒絕前者必然把問題帶給後者，而它好像是良基的（well-founded）。

　　一些次協調邏輯：

• 多值邏輯可以支持次協調真值
• 相干邏輯支持真理的四值概念：真，假，非真非假，和次協調的亦真亦假。

　　在知識表現中，對可廢止推理系統做了很多關註，它們可以支持在更充分的證據可獲得的時候否決以前的結論。可以證明可廢止邏輯是次協調的。次協調邏輯也可以用做次協調數學的基礎，它允許矛盾而不使所有陳述成為可推導的結論。