次协调逻辑

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什么是次协调逻辑

  次协调逻辑是尝试处理矛盾的逻辑。次协调逻辑是不琐碎的(non-trivial)逻辑,它允许矛盾。更加特殊的,它允许断言一个陈述和它的否定,而不导致谬论。在标准逻辑中,从矛盾中可以推导出任何东西;这叫做ex contradictione quodlibet(ECQ),也叫做爆炸原理。次协调逻辑就是ECQ不成立的逻辑系统。

  次协调逻辑可以用来建模有矛盾的信仰系统,但不是任何东西都能从它推导出来的。在标准逻辑中,必须小心的防止形成说谎者悖论的陈述;次协调逻辑由于不需要排除这种陈述而更加简单(尽管它仍然必须排除Curry悖论)。此外,次协调逻辑可以潜在的克服哥德尔不完备定理蕴涵的算术限制,而是完备的。

次协调逻辑的动机

  发明次协调逻辑有很多动机,它们都引起对经典逻辑的会导致反直觉结果的协调性(一致性)的不满足。

  语义悖论,特别是自引用,提供了质问经典逻辑的形式根据。考虑说谎者悖论(这里的"<L>"表示"L这个命题"):

  (L)<L>不是真的。把L塞入自身,我们得到

  “<L>不是真的”不是真的

  看起来它说的事情同于

  (L' )L是真的

(这种推理基于几个相当似是而非的但公认不是无懈可击的前提,关于双重否定除去的和在

和P之间联系--就是说在命题和命题所对应的事态之间的联系。粗略的说,我们称这种关系为"真理",所以我们能够在某种意义上,移入和移出引号和标记命题的括号)。并且,如果我们继续运做在关于真理本质的无可置疑的质朴假定之上,则L看起来是L' 的否定。所以,这是一个矛盾。(集合论和高阶逻辑的罗素悖论缘于类似的问题。)   经典逻辑(或者更一般的说协调逻辑)的坚定支持者可以简单的忽略这种问题,或者简单的说像L这样的句子是无意义的。可以理解的,次协调逻辑学家机警的接受了这些句子;毕竟,"这个句子是假的"好像是完全连贯的甚至发人深省的句子。接受遵照像L这样的句子和它的外在否定L' 同样是真理的立场,是摆脱这种语义悖论的一种可能方式。   次协调逻辑双面真理说的支持者Graham Priest,提供了一个例子,以表示无矛盾律和双面真理说对前提定义的看法差异:   “一位站在门口的人一半在门里一半在门外。”对于"我在屋里"和与它否定的"我不在屋里"的逻辑辨证,无矛盾律认为“站在门口的人并非完全在屋内,故只属于"我不在屋里"且不属于"我在屋里"”;双面真理说则同时支持"我在屋里"和"我不在屋里"为真。可以看出,相对于无矛盾律的严格前提相信逻辑函数单射;双面真理说则相信逻辑命题属于四值概念(见相干逻辑)。要注意的是,这里无矛盾律的主张并非排中律,因为这个命题有真值。

次协调逻辑的问题

  在经典逻辑中,在逻辑语言内任何句子都可以从否定矛盾集合中推导出来。类似的模型理论性质对经典逻辑是成立的。这叫做爆炸原理,因为一个单一的矛盾就确保推理可以在任何任意方向上进行。经典逻辑、直觉逻辑和多数其他逻辑遭受着这个问题。开发次协调逻辑是为了避免爆炸原理的有害效果。

  为了解决这个问题,次协调逻辑可以简单的拒绝爆炸原理。当然,这么做可不是平凡的事情。爆炸是我们析取的真值泛函概念的直接推论;要拒绝前者必然把问题带给后者,而它好像是良基的(well-founded)。

  一些次协调逻辑:

  • 多值逻辑可以支持次协调真值
  • 相干逻辑支持真理的四值概念:真,假,非真非假,和次协调的亦真亦假。

  在知识表现中,对可废止推理系统做了很多关注,它们可以支持在更充分的证据可获得的时候否决以前的结论。可以证明可废止逻辑是次协调的。次协调逻辑也可以用做次协调数学的基础,它允许矛盾而不使所有陈述成为可推导的结论。

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