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康托爾悖論

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什麼是康托爾悖論

  康托爾悖論是1874年,康托爾開始引進他的令人感到神秘莫測的無窮大概念。康托爾的理論,特別是一一對應的方法造成的無窮中的悖論,與傳統觀念格格不入,難怪一開始康托爾就遭到那些堅持傳統觀念人士的強烈反對,說他的理論是“霧中之霧”,甚至有人說他是瘋子。

康托爾悖論的來源

  康托爾(Georg Cantor,1845-1918,德) 康托爾1845年出生於俄國的聖彼得堡,後來離開俄國遷入德國,其家庭是猶太人後裔。早在學生時代,康托爾就顯露出數學天才,不顧其父親的反對,他選擇了數學作為自己的專業,並於1867年以優異成績獲得了柏林大學哲學博士學位,其後,在哈爾大學得到一個教師職位,1872年提升為教授

  1874年,康托爾開始引進他的令人感到神秘莫測的無窮大概念。偉大的伽利略曾經在先前考慮過無窮大,但康托爾是第一個建立起完整的邏輯結構的人,在這種結構中,他提出一個超限數的序列,可以說,這就是無窮大的級。

  從能夠加以描述的集合來說,無窮大的級並不很多,全體整數序列相當於它的第一級,所有實數的集合較高一級,相當於第二級,而所有函數的集合又較高一級,相當於第三級,但到此我們就必須止步了。

  康托爾的觀點並未能被同時代的所有人接受,特別是康托爾的老師克朗涅克爾(L.Kronecker)就猛烈攻擊康托爾的研究工作,同時出於專業嫉恨,他還竭力阻撓康托爾的提升,不讓其在柏林大學獲得一個職位。長期的過度疲勞和激烈的爭吵論戰,使得康托爾的精神終於在1884年崩潰,1918年1月6日,他在哈爾精神病醫院逝世。

  一年一度的某中學藝術節又要到來了。本次藝術節共設三項:書畫比賽、歌詠比賽和圍棋比賽。初二·三班的文藝委員孟娟對本班參賽人員進行統計,結果是:參加書畫比賽的15人,參加歌詠比賽的28人,參加圍棋比賽的25人,但使孟娟百思不得其解的是,參加人員總計68人,而她的班裡總共才有60人,剩餘的8人是從何處來的呢?原來,這是由集合的性質造成的。

康托爾悖論的影響

  據康托爾集合理論,任何性質都可以決定一個集合,這樣所有的集合又可以組成一個集合,即“所有集合的集合”(大全集)。顯然,此集合應該是最大的集合了,因此其基數也應是最大的,然而其子集的集合的基數按“康托爾定理”又必然是更大的,那麼,“所有集合的集合”就不成其為“所有集合的集合”,這就是“康托爾悖論”。對這一悖論,康托爾並沒有感到害怕,因為通過反證法恰恰證明沒有“所有集合的集合”或者說“最大的集合”,當然也沒有“最大的基數”。

  悖論的出現這時並沒有引起多大的震動,人們覺得這似乎僅僅牽涉到集合理論的一些技術問題,只要作適當的修正,集合論仍然會成為數學大廈的基礎,康托爾只是利用悖論進行反證,而並沒有細究悖論的來源及意義,他沒有意識到這種反證之所以可能,是因為他的理論中所使用的基本概念“集合”、“屬於”、“元素”是包含著矛盾的。1901年羅素髮表的“羅素悖論”則“剝掉了數學技術性的細節”,使其中的矛盾赤裸裸地暴露出來了!

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