康托爾悖論

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　　康托爾悖論是1874年，康托爾開始引進他的令人感到神秘莫測的無窮大概念。康托爾的理論，特別是一一對應的方法造成的無窮中的悖論，與傳統觀念格格不入，難怪一開始康托爾就遭到那些堅持傳統觀念人士的強烈反對，說他的理論是“霧中之霧”，甚至有人說他是瘋子。

　　康托爾（Georg Cantor，1845-1918，德） 康托爾1845年出生於俄國的聖彼得堡，後來離開俄國遷入德國，其家庭是猶太人後裔。早在學生時代，康托爾就顯露出數學天才，不顧其父親的反對，他選擇了數學作為自己的專業，並於1867年以優異成績獲得了柏林大學的哲學博士學位，其後，在哈爾大學得到一個教師職位，1872年提升為教授。

　　1874年，康托爾開始引進他的令人感到神秘莫測的無窮大概念。偉大的伽利略曾經在先前考慮過無窮大，但康托爾是第一個建立起完整的邏輯結構的人，在這種結構中，他提出一個超限數的序列，可以說，這就是無窮大的級。

　　從能夠加以描述的集合來說，無窮大的級並不很多，全體整數序列相當於它的第一級，所有實數的集合較高一級，相當於第二級，而所有函數的集合又較高一級，相當於第三級，但到此我們就必須止步了。

　　康托爾的觀點並未能被同時代的所有人接受，特別是康托爾的老師克朗涅克爾（L.Kronecker）就猛烈攻擊康托爾的研究工作，同時出於專業嫉恨，他還竭力阻撓康托爾的提升，不讓其在柏林大學獲得一個職位。長期的過度疲勞和激烈的爭吵論戰，使得康托爾的精神終於在1884年崩潰，1918年1月6日，他在哈爾精神病醫院逝世。

　　一年一度的某中學藝術節又要到來了。本次藝術節共設三項：書畫比賽、歌詠比賽和圍棋比賽。初二·三班的文藝委員孟娟對本班參賽人員進行統計，結果是：參加書畫比賽的15人，參加歌詠比賽的28人，參加圍棋比賽的25人，但使孟娟百思不得其解的是，參加人員總計68人，而她的班裡總共才有60人，剩餘的8人是從何處來的呢？原來，這是由集合的性質造成的。

　　據康托爾集合理論，任何性質都可以決定一個集合，這樣所有的集合又可以組成一個集合，即“所有集合的集合”（大全集）。顯然，此集合應該是最大的集合了，因此其基數也應是最大的，然而其子集的集合的基數按“康托爾定理”又必然是更大的，那麼，“所有集合的集合”就不成其為“所有集合的集合”，這就是“康托爾悖論”。對這一悖論，康托爾並沒有感到害怕，因為通過反證法恰恰證明沒有“所有集合的集合”或者說“最大的集合”，當然也沒有“最大的基數”。

　　悖論的出現這時並沒有引起多大的震動，人們覺得這似乎僅僅牽涉到集合理論的一些技術問題，只要作適當的修正，集合論仍然會成為數學大廈的基礎，康托爾只是利用悖論進行反證，而並沒有細究悖論的來源及意義，他沒有意識到這種反證之所以可能，是因為他的理論中所使用的基本概念“集合”、“屬於”、“元素”是包含著矛盾的。1901年羅素髮表的“羅素悖論”則“剝掉了數學技術性的細節”，使其中的矛盾赤裸裸地暴露出來了！