康托尔悖论

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　　康托尔悖论是1874年，康托尔开始引进他的令人感到神秘莫测的无穷大概念。康托尔的理论，特别是一一对应的方法造成的无穷中的悖论，与传统观念格格不入，难怪一开始康托尔就遭到那些坚持传统观念人士的强烈反对，说他的理论是“雾中之雾”，甚至有人说他是疯子。

　　康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德） 康托尔1845年出生于俄国的圣彼得堡，后来离开俄国迁入德国，其家庭是犹太人后裔。早在学生时代，康托尔就显露出数学天才，不顾其父亲的反对，他选择了数学作为自己的专业，并于1867年以优异成绩获得了柏林大学的哲学博士学位，其后，在哈尔大学得到一个教师职位，1872年提升为教授。

　　1874年，康托尔开始引进他的令人感到神秘莫测的无穷大概念。伟大的伽利略曾经在先前考虑过无穷大，但康托尔是第一个建立起完整的逻辑结构的人，在这种结构中，他提出一个超限数的序列，可以说，这就是无穷大的级。

　　从能够加以描述的集合来说，无穷大的级并不很多，全体整数序列相当于它的第一级，所有实数的集合较高一级，相当于第二级，而所有函数的集合又较高一级，相当于第三级，但到此我们就必须止步了。

　　康托尔的观点并未能被同时代的所有人接受，特别是康托尔的老师克朗涅克尔（L.Kronecker）就猛烈攻击康托尔的研究工作，同时出于专业嫉恨，他还竭力阻挠康托尔的提升，不让其在柏林大学获得一个职位。长期的过度疲劳和激烈的争吵论战，使得康托尔的精神终于在1884年崩溃，1918年1月6日，他在哈尔精神病医院逝世。

　　一年一度的某中学艺术节又要到来了。本次艺术节共设三项：书画比赛、歌咏比赛和围棋比赛。初二·三班的文艺委员孟娟对本班参赛人员进行统计，结果是：参加书画比赛的15人，参加歌咏比赛的28人，参加围棋比赛的25人，但使孟娟百思不得其解的是，参加人员总计68人，而她的班里总共才有60人，剩余的8人是从何处来的呢？原来，这是由集合的性质造成的。

　　据康托尔集合理论，任何性质都可以决定一个集合，这样所有的集合又可以组成一个集合，即“所有集合的集合”（大全集）。显然，此集合应该是最大的集合了，因此其基数也应是最大的，然而其子集的集合的基数按“康托尔定理”又必然是更大的，那么，“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”，这就是“康托尔悖论”。对这一悖论，康托尔并没有感到害怕，因为通过反证法恰恰证明没有“所有集合的集合”或者说“最大的集合”，当然也没有“最大的基数”。

　　悖论的出现这时并没有引起多大的震动，人们觉得这似乎仅仅牵涉到集合理论的一些技术问题，只要作适当的修正，集合论仍然会成为数学大厦的基础，康托尔只是利用悖论进行反证，而并没有细究悖论的来源及意义，他没有意识到这种反证之所以可能，是因为他的理论中所使用的基本概念“集合”、“属于”、“元素”是包含着矛盾的。1901年罗素发表的“罗素悖论”则“剥掉了数学技术性的细节”，使其中的矛盾赤裸裸地暴露出来了！