递延年金现值

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递延年金现值是指间隔一定时期后每期期末或期初收入或付出的系列等额款项，按照复利计息方式折算的现时价值，即间隔一定时期后每期期末或期初等额收付资金的复利现值之和。

　　递延年金现值是指若干时期后开始每期款项的现值之和、其现值计算方法有三种。

　　第一种方法：把递延年金视为“2”期普通年金，求出递延期末(图中“2”，所对应的位置)的现值，然后再将此现值调整到第一期的期初(图中“0”对应的位置)。

　　其计算的基本步骤如下。

• 第一步，求出递延期末的现值。

　　P_m=A·(P/A,i,n)

• 第二步，将递延期末的现值调整到第一期期初。

　　P=P_m·(P/S,i,m)

• 综合以上两个计算步骤，则可得到递延年金现值的计算公式之一。

　　(例1)如上图所示，假设银行利率为6％，其递延年金现值为多少?

　　解 P=A(P/A,i,n)(P/S,i,m)

　　=100×(P/A,6％,4)×(P/S,6％,2)

　　=(100×3．465×0．890)元

　　=308．4元

　　第二种方法：假设递延期也发生款项的等额收付，则先求出包含递延期在内，即(m+n)期的普通年金现值，然后扣除实际并未收付的递延期(m)的普通年金现值，即可得出最终结果。

• 按此方法可得递延年金现值计算公式之二。

　　P = P_{m + n} − P_m

　　依例1资料，计算其递延年金现值。

　　解 P=A[(P/A,i,m+n)-(P/S,i,m)]

　　=100×[(P/A,6％,2+4)一(P/A,6％,2)]

　　=[100×(4．917-1．833)]元

　　=308．4元

　　第三种方法：先求出递延年金的终值，再将其折算为现值。

　　其计算的基本步骤如下。

• 第一步，求出递延年金的终值。

　　S=A(S/A,i,n)

• 第二步，将递延年金的终值折算为现值。

　　P=S(P/S,i,m+n)

• 综合以上两个计算步骤，则可得到递延年金现值的计算公式之三。

　　依例1资料，计算其递延年金现值。

　　解 P=A(S/A,i,n)(P/S,i,m+n)

　　=100(S/A,6％,4)(P/S,6%,2+4)

　　=(100×4．375×0．705)元

　　=308．4元

　　(例2)小王是一个自由职业者，他从2004年1月起每月月末交纳养老保险金120元，以便在30年以后的退休期间每月月未能领取一笔固定的养老金。假设养老金的月利率为o．36％，那么，他在退休后的20年中每月能够领取多少养老金?

　　分析：该问题中有两个年金，一是从2004年1月起的360个月(至2033年12月)中每月月末发生120元的年金，这是普通年金；二是从2034年1月起的240个月(至2053年12月)每月月末发生的年金，这是递延年金。可以以不同的时点为基准，建立交纳养老金和领取养老金的现值相等关系。

　　解 假设小王退休后每月能领取的养老金为A元，下面分别按照三个不同的时点来求A。

　　(1)以2004年1月初为基准日。

• 交纳养老金的年金现值为

　　120×(P/A,0．36%,360)

• 领取养老金的年金现值为

　　A(P/A,0．36％,240)(P/S,0．36％,360)

• 这两个现值应当相等，故得到下列方程。

　　120×(P/A,0．36％,360)＝A(P/A,0．36％,240)(P/S,0．36％,360)

• 计算上述方程中的系数，代入上式，得

　　元＝550．02元

　　(2)以2033年12月末(即2034年1月初)为基准日。

• 交纳养老金的年金终值为

　　120×(S/A,0．36%,360)

• 领取养老金的年金现值为

　　A(P/A,0．36%,240)

• 这两个值应当相等，故得到下列方程。

　　120×(S/A,0．36%,360)＝A(P/A,0．36%,240)

• 计算上述方程中的系数，代入上式，得A＝(120×735．043)元＝549．50元

　　(3)以2053年12月末(即2054年1月初)为基准日。

• 交纳养老金的年金终值为

　　120×(S/A,0．36%,360)×(S/P,0．36%,240)

• 领取养老金的年金终值为

　　A(S/A,0．36%,240)

• 这两个终值应当相等，故得到下列方程。

　　120×(S/A,0．36%,360)×(S/P,0．36%,240)=A(S/A,0．36%,240)

• 计算上述方程中的系数，代人上式，得

　　元

　　以三个不同的时点为基准日，建立交纳养老金和领取养老金的价值平衡关系，计算得到的结果是相同的(略有误差是近似计算所致)。

• 递延年金