最大似然估计

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最大似然估计(Maximum Likelihood,ML)

目录

最大似然估计概述

   最大似然估计是一种统计方法,它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。

  “似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译,“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而,若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。

  最大似然法明确地使用概率模型,其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。

  例如,转换出现的概率大约是颠换的三倍。在一个三条序列的比对中,如果发现其中有一列为一个C,一个T和一个G,我们有理由认为,C和T所在的序列之间的关系很有可能更接近。由于被研究序列的共同祖先序列是未知的,概率的计算变得复杂;又由于可能在一个位点或多个位点发生多次替换,并且不是所有的位点都是相互独立,概率计算的复杂度进一步加大。尽管如此,还是能用客观标准来计算每个位点的概率,计算表示序列关系的每棵可能的树的概率。然后,根据定义,概率总和最大的那棵树最有可能是反映真实情况的系统发生树。

最大似然估计的原理

  给定一个概率分布D,假定其概率密度函数(连续分布)或概率聚集函数(离散分布)为fD,以及一个分布参数θ,我们可以从这个分布中抽出一个具有n个值的采样X_1, X_2,\ldots, X_n,通过利用fD,我们就能计算出其概率:

\mathbb{P}(x_1,x_2,\dots,x_n) = f_D(x_1,\dots,x_n \mid \theta)

  但是,我们可能不知道θ的值,尽管我们知道这些采样数据来自于分布D。那么我们如何才能估计出θ呢?一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有n个值的采样X1,X2,...,Xn,然后用这些采样数据来估计θ.

  一旦我们获得X_1, X_2,\ldots, X_n,我们就能从中找到一个关于θ的估计。最大似然估计会寻找关于 θ的最可能的值(即,在所有可能的θ取值中,寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化)。这种方法正好同一些其他的估计方法不同,如θ的非偏估计,非偏估计未必会输出一个最可能的值,而是会输出一个既不高估也不低估θ值。

  要在数学上实现最大似然估计法,我们首先要定义可能性:

\mbox{lik}(\theta) = f_D(x_1,\dots,x_n \mid \theta)

  并且在θ的所有取值上,使这个[[函数最大化。这个使可能性最大的\widehat{\theta}值即被称为θ最大似然估计

注意

  • 这里的可能性是指x_1,x_2,\ldots,x_n不变时,关于θ的一个函数。
  • 最大似然估计函数不一定是惟一的,甚至不一定存在。

最大似然估计的例子

离散分布,离散有限参数空间

  考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次(即,我们获取一个采样x_1=\mbox{H}, x_2=\mbox{T}, \ldots, x_{80}=\mbox{T}并把正面的次数记下来,正面记为H,反面记为T)。并把抛出一个正面的概率记为p,抛出一个反面的概率记为1 − p(因此,这里的p即相当于上边的θ)。假设我们抛出了49个正面,31 个反面,即49次H,31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为p = 1 / 3, p = 1 / 2, p = 2 / 3. 这些硬币没有标记,所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计,通过这些试验数据(即采样数据),我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个可能性函数取以下三个值中的一个:

\begin{matrix} \mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=1/3) & = & \binom{80}{49}(1/3)^{49}(1-1/3)^{31} \approx 0.000 \\ &&\\ \mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=1/2) & = & \binom{80}{49}(1/2)^{49}(1-1/2)^{31} \approx 0.012 \\ &&\\ \mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=2/3) & = & \binom{80}{49}(2/3)^{49}(1-2/3)^{31} \approx 0.054 \\ \end{matrix}

  我们可以看到当\widehat{p}=2/3时,可能性函数取得最大值。这就是p最大似然估计.

离散分布,连续参数空间

  现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币,对于0\leq p \leq 1中的任何一个p, 都有一个抛出正面概率为p的硬币对应,我们来求其可能性函数的最大值:

\begin{matrix} \mbox{lik}(\theta) & = & f_D(\mbox{H=49,T=80-49}\mid p) = \binom{80}{49} p^{49}(1-p)^{31} \\ \end{matrix}

  其中0\leq p \leq 1. 我们可以使用微分法来求最值。方程两边同时对p取微分,并使其为零。

\begin{matrix} 0 & = & \frac{d}{dp} \left( \binom{80}{49} p^{49}(1-p)^{31} \right) \\   &   & \\   & \propto & 49p^{48}(1-p)^{31} - 31p^{49}(1-p)^{30} \\   &   & \\   & = & p^{48}(1-p)^{30}\left[ 49(1-p) - 31p \right] \\ \end{matrix}

  在不同比例参数值下一个二项式过程的可能性曲线 t = 3, n = 10;其最大似然估计值发生在其众数(数学)并在曲线的最大值处。

  其解为p = 0, p = 1,以及p = 49 / 80. 使可能性最大的解显然是p = 49 / 80(因为p = 0p = 1 这两个解会使可能性为零)。因此我们说最大似然估计值\widehat{p}=49/80.

  这个结果很容易一般化。只需要用一个字母t代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据(即样本)的'成功'次数,用另一个字母n代表伯努利试验的次数即可。使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:

\widehat{p}=\frac{t}{n}

  对于任何成功次数为t,试验总数为n的伯努利试验。

连续分布,连续参数空间

  最常见的连续概率分布正态分布,其概率密度函数如下:

f(x\mid \mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

  其n个正态随机变量的采样的对应密度函数(假设其独立并服从同一分布)为:

f(x_1,\ldots,x_n \mid \mu,\sigma^2) = \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} e^{-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}

  或:

f(x_1,\ldots,x_n \mid \mu,\sigma^2) = \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^{n/2} \exp\left(-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),

  这个分布有两个参数:μ,σ2. 有人可能会担心两个参数与上边的讨论的例子不同,上边的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。实际上,在两个参数上的求最大值的方法也差不多:只需要分别把可能性\mbox{lik}(\mu,\sigma) = f(x_1,,\ldots,x_n \mid \mu, \sigma^2)在两个参数上最大化即可。当然这比一个参数麻烦一些,但是一点也不复杂。使用上边例子同样的符号,我们有θ = (μ,σ2).

  最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域内严格递增的函数。[注意:可能性函数(似然函数)的自然对数跟信息熵以及Fisher信息联系紧密。求对数通常能够一定程度上简化运算,比如在这个例子中可以看到:

\begin{matrix} 0 & = & \frac{\partial}{\partial \mu} \log \left( \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} e^{-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}} \right) \\   & = & \frac{\partial}{\partial \mu} \left( \log\left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} - \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \\   & = & 0 - \frac{-2n(\bar{x}-\mu)}{2\sigma^2} \\ \end{matrix}

  这个方程的解是\widehat{\mu} = \bar{x} = \sum^{n}_{i=1}x_i/n. 这的确是这个函数的最大值,因为它是μ里头惟一的拐点并且二阶导数严格小于零。

  同理,我们对σ求导,并使其为零。

\begin{matrix} 0 & = & \frac{\partial}{\partial \sigma} \log \left( \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} e^{-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}} \right) \\   & = & \frac{\partial}{\partial \sigma} \left( \frac{n}{2}\log\left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right) - \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \\   & = & -\frac{n}{\sigma} + \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{\sigma^3} \\ \end{matrix}

这个方程的解是\widehat{\sigma}^2 = \sum_{i=1}^n(x_i-\widehat{\mu})^2/n.

因此,其关于θ = (μ,σ2)最大似然估计为:

\widehat{\theta}=(\widehat{\mu},\widehat{\sigma}^2) = (\bar{x},\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2/n).

性质

泛函不变性(Functional invariance)

  如果\widehat{\theta}θ的一个最大似然估计,那么α = g(θ)的最大似然估计是\widehat{\alpha} = g(\widehat{\theta}). 函数 g 无需是一个——映射。

渐近线行为

  最大似然估计函数在采样样本总数趋于无穷的时候达到最小方差(其证明可见于Cramer-Rao lower bound)。当最大似然估计非偏时,等价的,在极限的情况下我们可以称其有最小的均方差。对于独立的观察来说,最大似然估计函数经常趋于正态分布。

偏差

  最大似然估计的非偏估计偏差是非常重要的。考虑这样一个例子,标有1nn张票放在一个盒子中。从盒子中随机抽取票。如果n是未知的话,那么n的最大似然估计值就是抽出的票上标有的n,尽管其期望值的只有(n + 1) / 2. 为了估计出最高的n值,我们能确定的只能是n值不小于抽出来的票上的值。

最大似然估计的一般求解步骤[1]

  基于对似然函数L(θ)形式(一般为连乘式且各因式>0)的考虑,求θ的最大似然估计的一般步骤如下:

  (1)写出似然函数

  L\theta=\prod_{i=1}^n p(x_i;\theta)(总体X为离散型时)

  或 L\theta=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)(总体X为连续型时)

  (2)对似然函数两边取对数有

  lnL\theta=\sum_{i=1}^n lnp(x_i;\theta)

  或 lnL\theta=\sum_{i=1}^n lnf(x_i;\theta)

  (3)对lnL\theta求导数并令之为0:

  \frac{dlnL\theta}{d\theta}=0

  此方程为对数似然方程。解对数似然方程所得,即为未知参数 的最大似然估计值。

  例1

  设总体X~N(μσ2),μσ2为未知参数,X1,X2...,Xn是来自总体X的样本,X1,X2...,Xn是对应的样本值,求μσ2的最大似然估计值。

  解 X的概率密度为

  f(x;μσ2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2} (-\infty<x<+\infty),

  可得似然函数如下:

  L(μσ2)=\prod_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2{\sigma}^2}}

  取对数,得

  lnL(μσ2)=-\frac{n}{2}ln(2\pi)-\frac{n}{2}ln(\sigma^2)-\frac{1}{2{\delta}^2}\sum_{i=1}^n{(x_i-\mu)}^2

  令

  \begin{cases}\frac{\partial}{\partial\mu}ln L(\mu,\sigma)=0,\\\frac{\partial}{\partial\sigma^2}\ln L(\mu,\sigma)=0,\end{cases}

  可得

  \begin{cases}\frac{1}{\sigma^2}(\sum_{i=1}^2x_i-n\mu)=0,\\-\frac{n}{2\sigma^2}+\frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2=0.\end{cases}

  解得

  \begin{cases}\widehat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i=\overline{x}, \\\widehat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2.\end{cases}

  故μδ2的最大似然估计量分别为

  \widehat{\mu}=\overline{X}\widehat{\delta^2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2

参考文献

  1. 王翠香编著.概率统计.北京大学出版社,2010.02
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评论(共16条)

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147.143.227.* 在 2011年3月17日 06:22 发表

例子好难哦~ 不理解~ 哎 我太浅薄了

回复评论
鲈鱼 (Talk | 贡献) 在 2011年3月17日 14:00 发表

147.143.227.* 在 2011年3月17日 06:22 发表

例子好难哦~ 不理解~ 哎 我太浅薄了

补充了最大似然估计的求解步骤,希望对你有帮助!~~

回复评论
155.41.58.* 在 2011年3月27日 01:41 发表

简明易懂!很好!

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219.231.157.* 在 2011年3月29日 09:37 发表

tinghao

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2.230.8.* 在 2012年6月24日 06:07 发表

感谢

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202.101.245.* 在 2012年10月11日 17:36 发表

Good

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59.41.252.* 在 2013年3月27日 16:37 发表

有没有多元的~

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125.64.231.* 在 2013年6月12日 02:24 发表

厉害,讲的可以

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刘浩成 (Talk | 贡献) 在 2013年6月13日 07:06 发表

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183.250.211.* 在 2013年10月1日 10:50 发表

不明白

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121.28.69.* 在 2013年11月7日 13:24 发表

喜欢 尤其是例题

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182.18.102.* 在 2014年4月2日 20:46 发表

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59.46.241.* 在 2015年3月4日 19:47 发表

我还是太笨啦。。。

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183.62.37.* 在 2015年9月22日 10:43 发表

谢谢您的分享,很有启发~

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118.186.17.* 在 2017年2月17日 14:28 发表

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Mbqq (Talk | 贡献) 在 2017年12月22日 12:32 发表

太棒了

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