最大似然估计

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最大似然估计（Maximum Likelihood，ML）

最大似然估计概述

　　 最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。

　　“似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译，“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而，若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。

　　最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。

　　例如，转换出现的概率大约是颠换的三倍。在一个三条序列的比对中，如果发现其中有一列为一个C，一个T和一个G，我们有理由认为，C和T所在的序列之间的关系很有可能更接近。由于被研究序列的共同祖先序列是未知的，概率的计算变得复杂；又由于可能在一个位点或多个位点发生多次替换，并且不是所有的位点都是相互独立，概率计算的复杂度进一步加大。尽管如此，还是能用客观标准来计算每个位点的概率，计算表示序列关系的每棵可能的树的概率。然后，根据定义，概率总和最大的那棵树最有可能是反映真实情况的系统发生树。

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最大似然估计的原理

　　给定一个概率分布 $D$ ，假定其概率密度函数（连续分布）或概率聚集函数（离散分布）为 $f D$ ，以及一个分布参数 $θ$ ，我们可以从这个分布中抽出一个具有 $n$ 个值的采样 $X_1, X_2,\ldots, X_n$ ，通过利用 $f D$ ，我们就能计算出其概率：

$\mathbb{P}(x_1,x_2,\dots,x_n) = f_D(x_1,\dots,x_n \mid \theta)$

　　但是，我们可能不知道 $θ$ 的值，尽管我们知道这些采样数据来自于分布 $D$ 。那么我们如何才能估计出 $θ$ 呢？一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有 $n$ 个值的采样 $X 1, X 2,..., X n$ ，然后用这些采样数据来估计 $θ$ .

　　一旦我们获得 $X_1, X_2,\ldots, X_n$ ，我们就能从中找到一个关于 $θ$ 的估计。最大似然估计会寻找关于 $θ$ 的最可能的值（即，在所有可能的 $θ$ 取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。这种方法正好同一些其他的估计方法不同，如 $θ$ 的非偏估计，非偏估计未必会输出一个最可能的值，而是会输出一个既不高估也不低估的 $θ$ 值。

　　要在数学上实现最大似然估计法，我们首先要定义可能性:

$\mbox{lik}(\theta) = f_D(x_1,\dots,x_n \mid \theta)$

　　并且在 $θ$ 的所有取值上，使这个[[函数最大化。这个使可能性最大的 $\widehat{\theta}$ 值即被称为 $θ$ 的最大似然估计。

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注意

这里的可能性是指 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 不变时，关于 $θ$ 的一个函数。
最大似然估计函数不一定是惟一的，甚至不一定存在。

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最大似然估计的例子

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离散分布，离散有限参数空间

　　考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次（即，我们获取一个采样 $x_1=\mbox{H}, x_2=\mbox{T}, \ldots, x_{80}=\mbox{T}$ 并把正面的次数记下来，正面记为H，反面记为T）。并把抛出一个正面的概率记为 $p$ ，抛出一个反面的概率记为 $1 - p$ （因此，这里的 $p$ 即相当于上边的 $θ$ ）。假设我们抛出了49个正面，31 个反面，即49次H，31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为 $p = 1 / 3$ , $p = 1 / 2$ , $p = 2 / 3$ . 这些硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计，通过这些试验数据（即采样数据），我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个可能性函数取以下三个值中的一个：

$\begin{matrix} \mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=1/3) & = & \binom{80}{49}(1/3)^{49}(1-1/3)^{31} \approx 0.000 \\ &&\\ \mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=1/2) & = & \binom{80}{49}(1/2)^{49}(1-1/2)^{31} \approx 0.012 \\ &&\\ \mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=2/3) & = & \binom{80}{49}(2/3)^{49}(1-2/3)^{31} \approx 0.054 \\ \end{matrix}$

　　我们可以看到当 $\widehat{p}=2/3$ 时，可能性函数取得最大值。这就是 $p$ 的最大似然估计.

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离散分布，连续参数空间

　　现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币，对于 $0\leq p \leq 1$ 中的任何一个 $p$ ，都有一个抛出正面概率为 $p$ 的硬币对应，我们来求其可能性函数的最大值：

$\begin{matrix} \mbox{lik}(\theta) & = & f_D(\mbox{H=49,T=80-49}\mid p) = \binom{80}{49} p^{49}(1-p)^{31} \\ \end{matrix}$

　　其中 $0\leq p \leq 1$ . 我们可以使用微分法来求最值。方程两边同时对 $p$ 取微分，并使其为零。

$\begin{matrix} 0 & = & \frac{d}{dp} \left( \binom{80}{49} p^{49}(1-p)^{31} \right) \\ & & \\ & \propto & 49p^{48}(1-p)^{31} - 31p^{49}(1-p)^{30} \\ & & \\ & = & p^{48}(1-p)^{30}\left[ 49(1-p) - 31p \right] \\ \end{matrix}$

　　在不同比例参数值下一个二项式过程的可能性曲线 t = 3, n = 10；其最大似然估计值发生在其众数(数学)并在曲线的最大值处。

　　其解为 $p = 0$ , $p = 1$ ，以及 $p = 49 / 80$ . 使可能性最大的解显然是 $p = 49 / 80$ （因为 $p = 0$ 和 $p = 1$ 这两个解会使可能性为零）。因此我们说最大似然估计值为 $\widehat{p}=49/80$ .

　　这个结果很容易一般化。只需要用一个字母 $t$ 代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据（即样本）的'成功'次数，用另一个字母 $n$ 代表伯努利试验的次数即可。使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:

$\widehat{p}=\frac{t}{n}$

　　对于任何成功次数为 $t$ ，试验总数为 $n$ 的伯努利试验。

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连续分布，连续参数空间

　　最常见的连续概率分布是正态分布，其概率密度函数如下：

$f(x\mid \mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

　　其 $n$ 个正态随机变量的采样的对应密度函数（假设其独立并服从同一分布）为：

$f(x_1,\ldots,x_n \mid \mu,\sigma^2) = \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} e^{-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

　　或：

$f(x_1,\ldots,x_n \mid \mu,\sigma^2) = \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^{n/2} \exp\left(-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$ ,

　　这个分布有两个参数： $μ,σ 2$ . 有人可能会担心两个参数与上边的讨论的例子不同，上边的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。实际上，在两个参数上的求最大值的方法也差不多：只需要分别把可能性 $\mbox{lik}(\mu,\sigma) = f(x_1,,\ldots,x_n \mid \mu, \sigma^2)$ 在两个参数上最大化即可。当然这比一个参数麻烦一些，但是一点也不复杂。使用上边例子同样的符号，我们有 $θ = (μ,σ 2)$ .

　　最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域内严格递增的函数。[注意：可能性函数（似然函数）的自然对数跟信息熵以及Fisher信息联系紧密。求对数通常能够一定程度上简化运算，比如在这个例子中可以看到：

$\begin{matrix} 0 & = & \frac{\partial}{\partial \mu} \log \left( \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} e^{-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}} \right) \\ & = & \frac{\partial}{\partial \mu} \left( \log\left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} - \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \\ & = & 0 - \frac{-2n(\bar{x}-\mu)}{2\sigma^2} \\ \end{matrix}$

　　这个方程的解是 $\widehat{\mu} = \bar{x} = \sum^{n}_{i=1}x_i/n$ . 这的确是这个函数的最大值，因为它是 $μ$ 里头惟一的拐点并且二阶导数严格小于零。

　　同理，我们对 $σ$ 求导，并使其为零。

$\begin{matrix} 0 & = & \frac{\partial}{\partial \sigma} \log \left( \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} e^{-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}} \right) \\ & = & \frac{\partial}{\partial \sigma} \left( \frac{n}{2}\log\left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right) - \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \\ & = & -\frac{n}{\sigma} + \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{\sigma^3} \\ \end{matrix}$

这个方程的解是 $\widehat{\sigma}^2 = \sum_{i=1}^n(x_i-\widehat{\mu})^2/n$ .

因此，其关于 $θ = (μ,σ 2)$ 的最大似然估计为：

$\widehat{\theta}=(\widehat{\mu},\widehat{\sigma}^2) = (\bar{x},\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2/n)$ .

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性质

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泛函不变性（Functional invariance）

　　如果 $\widehat{\theta}$ 是 $θ$ 的一个最大似然估计，那么 $α = g (θ)$ 的最大似然估计是 $\widehat{\alpha} = g(\widehat{\theta})$ . 函数 g 无需是一个——映射。

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渐近线行为

　　最大似然估计函数在采样样本总数趋于无穷的时候达到最小方差（其证明可见于Cramer-Rao lower bound）。当最大似然估计非偏时，等价的，在极限的情况下我们可以称其有最小的均方差。对于独立的观察来说，最大似然估计函数经常趋于正态分布。

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偏差

　　最大似然估计的非偏估计偏差是非常重要的。考虑这样一个例子，标有1到n的n张票放在一个盒子中。从盒子中随机抽取票。如果n是未知的话，那么n的最大似然估计值就是抽出的票上标有的n，尽管其期望值的只有 $(n + 1) / 2$ . 为了估计出最高的n值，我们能确定的只能是n值不小于抽出来的票上的值。

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最大似然估计的一般求解步骤^[1]

　　基于对似然函数L( $θ$ )形式(一般为连乘式且各因式>0)的考虑，求 $θ$ 的最大似然估计的一般步骤如下：

　　(1)写出似然函数

　　 $L\theta=\prod_{i=1}^n p(x_i;\theta)$ (总体X为离散型时)

　　或 $L\theta=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$ (总体X为连续型时)

　　(2)对似然函数两边取对数有

　　 $lnL\theta=\sum_{i=1}^n lnp(x_i;\theta)$

　　或 $lnL\theta=\sum_{i=1}^n lnf(x_i;\theta)$

　　(3)对lnL\theta求导数并令之为0：

　　 $\frac{dlnL\theta}{d\theta}=0$

　　此方程为对数似然方程。解对数似然方程所得，即为未知参数的最大似然估计值。

　　例1

　　设总体X~N( $μ$ ， $σ 2$ ), $μ$ ， $σ 2$ 为未知参数， $X 1$ , $X 2$ ..., $X n$ 是来自总体X的样本， $X 1$ , $X 2$ ..., $X n$ 是对应的样本值，求 $μ$ 与 $σ 2$ 的最大似然估计值。

　　解 X的概率密度为

　　f(x; $μ$ ， $σ 2$ )= $\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}$ ( $-\infty$ <x<+ $\infty$ ),

　　可得似然函数如下：

　　L( $μ$ ， $σ 2$ )= $\prod_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2{\sigma}^2}}$

　　取对数，得

　　lnL( $μ$ ， $σ 2$ )= $-\frac{n}{2}ln(2\pi)-\frac{n}{2}ln(\sigma^2)-\frac{1}{2{\delta}^2}\sum_{i=1}^n{(x_i-\mu)}^2$

　　令

　　 $\begin{cases}\frac{\partial}{\partial\mu}ln L(\mu,\sigma)=0,\\\frac{\partial}{\partial\sigma^2}\ln L(\mu,\sigma)=0,\end{cases}$

　　可得

　　 $\begin{cases}\frac{1}{\sigma^2}(\sum_{i=1}^2x_i-n\mu)=0,\\-\frac{n}{2\sigma^2}+\frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2=0.\end{cases}$

　　解得

　　 $\begin{cases}\widehat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i=\overline{x}, \\\widehat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2.\end{cases}$

　　故 $μ$ 和 $δ 2$ 的最大似然估计量分别为

　　 $\widehat{\mu}=\overline{X}$ ， $\widehat{\delta^2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2$

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参考文献

↑ 王翠香编著.概率统计.北京大学出版社,2010.02

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评论(共16条)

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147.143.227.* 在 2011年3月17日 06:22 发表

例子好难哦~ 不理解~ 哎我太浅薄了

回复评论

鲈鱼 (Talk | 贡献) 在 2011年3月17日 14:00 发表

147.143.227.* 在 2011年3月17日 06:22 发表

例子好难哦~ 不理解~ 哎我太浅薄了

补充了最大似然估计的求解步骤，希望对你有帮助！~~

回复评论

155.41.58.* 在 2011年3月27日 01:41 发表

简明易懂！很好！

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219.231.157.* 在 2011年3月29日 09:37 发表

tinghao

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2.230.8.* 在 2012年6月24日 06:07 发表

感谢

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202.101.245.* 在 2012年10月11日 17:36 发表

Good

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59.41.252.* 在 2013年3月27日 16:37 发表

有没有多元的~

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125.64.231.* 在 2013年6月12日 02:24 发表

厉害，讲的可以

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刘浩成 (Talk | 贡献) 在 2013年6月13日 07:06 发表

好

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183.250.211.* 在 2013年10月1日 10:50 发表

不明白

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121.28.69.* 在 2013年11月7日 13:24 发表

喜欢尤其是例题

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182.18.102.* 在 2014年4月2日 20:46 发表

好

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59.46.241.* 在 2015年3月4日 19:47 发表

我还是太笨啦。。。

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183.62.37.* 在 2015年9月22日 10:43 发表

谢谢您的分享，很有启发~

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118.186.17.* 在 2017年2月17日 14:28 发表

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Mbqq (Talk | 贡献) 在 2017年12月22日 12:32 发表

太棒了

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最大似然估计概述

最大似然估计的原理

注意

最大似然估计的例子

离散分布，离散有限参数空间

离散分布，连续参数空间

连续分布，连续参数空间

性质

泛函不变性（Functional invariance）

渐近线行为

偏差

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渐近线行为

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