放棄期權
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放棄期權是指在實行某個項目後又放棄該項目。這可能涉及到出售該項目的資產或把這些資產用到公司的其他領域。當將某項目的資產在外部市場上出售時，該項目的市場價值就是放棄期權的價值；而當將這些資產用到公司別的領域時，其機會成本就是放棄期權的價值。
有時放棄期權隱藏於整體預測中：一般而言繼續經營可能更可取，而在一些情況下終止可能更好。
例一：假設某公司準備生產一種新產品，將引進一條新的流水線，初步預測該流水線每年將產生100萬元的凈現金流量。在一年後,隨著管理人員對市場環境的熟悉以及更深入的調研，瞭解到該項目成敗的可能性各為50%。如果該項目成功的話，每年將產生200萬元的凈現金流量；如果項目失敗的話，不再進行投資，凈現金流量為0。項目評估使用的折現率為10%，初始投資需1 050萬元，一年內流水線變現的殘值收入為500萬元。
按傳統方法，預期的年現金流量為100萬元，貼現率為10%，那麼項目的凈現值(NPV)為-50萬元 (100÷10%-1 050)。
由於NPV<0，我們得出結論不應該投資。然而這種思路並不正確，因為：就這項初始投資為1050萬元的投資項目而言，一年後如果該項目失敗，產生的現金流量為：500萬元(殘值)+100萬元(初始預測下第一年年末的現金流量)=600(萬元)。然而，如果項目成功，產生的現金流量為：2 000萬元(200÷10%)+100萬元(初始預測下第一年年末的現金流量)=2100(萬元)。由於成敗的概率均為50%,，因此該項目期望的價值是：600×50%+2 100×50%=1350(萬元)，即最少在一年後可獲得100萬元的現金和價值1 250萬元(500×50%+2000×50%)的項目。仍然採用10%的貼現率計算，NPV=1 350÷(1+10%)-1050=177.27(萬元),這樣看來，NPV>0，我們應當投資該項目。該投資項目的決策樹分析如下:
該投資項目的放棄價值為500萬元，概率為50%，其現值為:500×50%÷(1+10%)=227.27(萬元)，這一價值就是放棄期權的價值。
就該案例而言，項目的價值(177.27萬元)=傳統方法計算的凈現值(-50萬元)+放棄期權的價值(227.27萬元)。正因為項目擁有一個有價值的期權，所以應該接受它。
例二：假設A公司對某種新型產品感興趣，就此與該產品的生產方B公司進行接觸，希望可以建立一個合資項目。
預期該項目的有效期為30年，在進行了傳統的投資分析後，B公司得出了項目的預期現金流只有4．8億美元的結論，項目的凈現值則為負數。因此，B公司無意與A公司開展合資項目。
在提出的合資項目被B公司拒絕之後，A公司提出了更加優惠的條件，即，在未來5年間的任何時候，A都可能會以40000萬美元回購B在合資項目中所占股份的50％。這一數字略低於B公司的最初投資額，但為其虧損提供了底線。也就是說，A公司賦予了B公司一個放棄期權。現在估價這項放棄期權對B公司而言的價值：
K=放棄期權的價值=40000萬美元
T=放棄期權的有效期=5年
為了估計方差，假設B公司在項目分析上通過蒙特卡羅模擬法而估計得到項目價值的標準差為25％。需要註意的是，由於項目的有效期有限，現值會隨時間的增長而下降，因為產生現金流的剩餘年份會越來越少。出於簡化的目的，我們假設這與項目的剩餘時間成比例變化。
股息收益=1／項目剩餘時間=1／30=3.33％將
這個數值帶入到Black-Scholes模型中，運用5％的無風險利率，得到期權估價如下：
放棄期權價值=S×N(d1)-K×er,T×N(d2)=40000×exp(-0.05)(5)(1—0.5776)-48000×exp(0.033)(5)(1-0.7748)=4009(萬美元)。
鑒於這一數字大於投資的負凈現值，B公司應該參與這一合資項目。另外，作為對A公司放棄這一期權的補償，該項目至少需要產生4009萬美元的凈現值。[1]
例三：某公司準備開發一處礦山，估計需投資1900萬元，投產後礦石的年產量可達30噸(較長時期內可持續)；礦石的當前市價為15萬元／噸，預計價格將會以10％的速度上漲，但這種上漲並不穩定，價格變動的標準差為40％。年固定成本為120萬元(不考慮其他成本和稅收)，1～5年後的殘值收入分別為600萬元、500萬元、400萬元、300萬元、200萬元。企業該項目的無風險利率為5％，風險報酬率為10％。
不考慮期權的項目凈現值，如表一所示。
| 時間(年) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 經營現金流量(增長率10％) | 495.00① | 544.50 | 598.95 | 658.85 | 724.73 | |
| 折現繫數(1O％) | 0.9091 | 0.8264 | 0.7513 | 0.6830 | 0.6209 | |
| 經營現金流量現值 | 450.00 | 449.97 | 449.99 | 449.99 | 449.98 | |
| 經營現金流量合計 | 2249.95 | |||||
| 殘值收入 | 200.00 | |||||
| 殘值收入現值 | 124.18 | |||||
| 固定成本支出 | 120.00 | 120.00 | 120.00 | 120.00 | 120.00 | |
| 折現繫數(5％)② | 0.95 | 0.91 | 0.86 | 0.82 | 0.78 | |
| 固定成本支出現值 | 114.29 | 108.84 | 103.66 | 98.72 | 94.02 | |
| 固定成本支出合計 | 519.53 | |||||
| 投資成本 | 1900.00 | |||||
| 凈現值 | -45.40 |
考慮期權的項目凈現值，如表二所示。
| 時間(年) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 經營現金流入 | 450.00 | 671.31 | 1001.46 | 1493.98 | 2228.72 | 3324.80 |
| 301.64 | 449.98 | 671128 | 1001.41 | 1493.91 | ||
| 202.19 | 301.62 | 449.96 | 671.25 | |||
| 135.53 | 202.18 | 301.61 | ||||
| 90.84 | 135.52 | |||||
| 60.89 | ||||||
| 經營凈現金流量= 現金流入-固定成本 | 330.00 | 551-31 | 881.46 | 1373.98 | 2108.72 | 3204.80 |
| 181.64 | 329.98 | 551.28 | 881.41 | 1373.9l | ||
| 82.19 | 181.62 | 329.96 | 551.25 | |||
| 15.53 | 82.18 | 181.61 | ||||
| -29.16 | 15.52 | |||||
| -59.11 | ||||||
| 未修正項目價值=[p× (後期上行凈現金流入+後期期末價值) +(1-p)×(後期下行凈現金流入 +後期期末價值)]/(l+r) | 1887.16 | 2424.25 | 2850.34 | 2946.22 | 2304.9 | 200 |
| 945.57 | 1195.91 | 1300.83 | 1077.6 | 200 | ||
| 452.54 | 561.52 | 526.15 | 200 | |||
| 229.33 | 278.37 | 200 | ||||
| 167.03 | 200 | |||||
| 200 | ||||||
| 清算價值(固定資產餘值) | 600 | 500 | 400 | 300 | 200 | |
| 修正後的項目現值(清算價值 大於經營現值時，用清算價值 替代經營價值，並從後向前 重新計算) | 1902.17 | 2427.16 | 2850.34 | 2946.22 | 2304.9 | 200 |
| 972.37 | 1201.59 | 1300.83 | 1077.6 | 200 | ||
| 500 | 572.6 | 526.15 | 200 | |||
| 400 | 300 | 200 | ||||
| 300 | 200 | |||||
| 200 |
在不考慮期權的情況下，該項目的凈現值為負，不值得投資。考慮期權的項目凈現值：採用五期二項樹法計算放棄期權價值。首先，計算上行乘數和下行乘數
=
其次，計算繫數P
最後，列表計算項目價值。
由表二知，考慮期權的項目凈現值為：1902.17-1900=2.17(萬元)。
由表一知，不考慮期權的項目凈現值為：-45.4萬元。
期權價值=2.17-(-45.4)=47.57(萬元)。
因此，公司應當實施該項目。[2]
好吧，例子不是很清楚…