TOPSIS法

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TOPSIS法（Technique for Order Preferenceby Similarity to Ideal Solution,）逼近理想解排序法、理想點法

　　TOPSIS （Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution ）法是C.L.Hwang和K.Yoon於1981年首次提出，TOPSIS法根據有限個評價對象與理想化目標的接近程度進行排序的方法，是在現有的對象中進行相對優劣的評價。理想化目標（Ideal Solution）有兩個，一個是肯定的理想目標（positive ideal solution）或稱最優目標，一個是否定的理想目標（negative ideal solution）或稱最劣目標，評價最好的對象應該是與最優目標的距離最近，而與最劣目標最遠，距離的計算可採用明考斯基距離，常用的歐幾里德幾何距離是明考斯基距離的特殊情況。

　　TOPSIS法是一種理想目標相似性的順序選優技術,在多目標決策分析中是一種非常有效的方法。它通過歸一化後的數據規範化矩陣,找出多個目標中最優目標和最劣目標(分別用理想解和反理想解表示) ,分別計算各評價目標與理想解和反理想解的距離,獲得各目標與理想解的貼近度,按理想解貼近度的大小排序,以此作為評價目標優劣的依據。貼近度取值在0～1 之間,該值愈接近1,表示相應的評價目標越接近最優水平;反之,該值愈接近0,表示評價目標越接近最劣水平。該方法已經在土地利用規劃、物料選擇評估、項目投資、醫療衛生等眾多領域得到成功的應用,明顯提高了多目標決策分析的科學性、準確性和可操作性。

　　其基本原理，是通過檢測評價對象與最優解、最劣解的距離來進行排序，若評價對象最靠近最優解同時又最遠離最劣解，則為最好；否則為最差。其中最優解的各指標值都達到各評價指標的最優值。最劣解的各指標值都達到各評價指標的最差值。

　　TOPSIS法中“理想解”和“負理想解”是TOPSIS法的兩個基本概念。所謂理想解是一設想的最優的解（方案），它的各個屬性值都達到各備選方案中的最好的值；而負理想解是一設想的最劣的解（方案），它的各個屬性值都達到各備選方案中的最壞的值。方案排序的規則是把各備選方案與理想解和負理想解做比較，若其中有一個方案最接近理想解，而同時又遠離負理想解，則該方案是備選方案中最好的方案。

　　遇到多目標最優化問題時,通常有m 個評價目標 每個目標有n 評價指標。首先邀請相關專家對評價指標(包括定性指標和定量指標) 進行打分,然後將打分結果表示成數學矩陣形式,建立下列特征矩陣:

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　　計算規範化矩陣

　　對特征矩陣進行規範化處理,得到規格化向量r_ij ,建立關於規格化向量r_ij的規範化矩陣

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　　構造權重規範化矩陣

　　通過計算權重規格化值v_ij,建立關於權重規範 化值v_ij 的權重規範化矩陣

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　　其中,w_j是第j 個指標的權重。在基於ASP的動態聯盟製造資源評估模型中,採用的權重確定方法有Delphi法、對數最小二乘法、層次分析法、熵等。

　　確定理想解和反理想解

　　根據權重規格化值v_ij來確定理想解A ^* 和反理想解A ⁻ :

　　 。

　　。

　　其中,J₁是收益性指標集, 表示在第i個指標上的最優值; J₂是損耗性指標集, 表示在第i個指標上的最劣值。收益性指標越大,對評估結果越有利;損耗性指標越小,對評估結果越有利。反之,則對評估結果不利。

　　計算距離尺度

　　計算距離尺度,即計算每個目標到理想解和反理想解的距離,距離尺度可以通過n維歐幾裡得距離來計算。目標到理想解A ^* 的距離為S ^* ,到反理想解A ⁻ 的距離為S ⁻ :

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　　其中,與分別為第j個目標到最優目標及最劣目標的距離, v_ij是第i個目標第j個評價指標的權重規格化值。S ^* 為各評價目標與最優目標的接近程度, S ^* 值越小,評價目標距離理想目標越近,方案越優。

　　計算理想解的貼近度C ^*

　　。

　　式中,。當時, A_i = A ⁻ ,表示該目標為最劣目標;當時, A_i = A ^* , 表示該目標為最優目標。在實際的多目標決策中, 最優目標和最劣目標存在的可能性很小。

　　根據理想解的貼近度C ^* 大小進行排序

　　根據C ^* 的值按從小到大的順序對各評價目標進行排列。排序結果貼近度C ^* 值越大,該目標越優,C ^* 值最大的為最優評標目標。