CVaR

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CVaR(conditional value at risk) 條件風險價值

　　CVaR即條件風險價值，是由RockafeUar和Uryasev等於1997年提出的一種較VaR更優的風險計量技術，其含義為在投資組合的損失超過某個給定VaR值的條件下，該投資組合的平均損失值。

　　若設定投資組合的隨機損失為-X(-X<0)，VaR_β是置信水平為1-β的VaR值，則CVaR可用數學公式表示為:

　　CVaR_β=E(-X|-X≥VaR_β)

　　CVaR(條件風險價值)是在VaR(風險價值)的基礎上發展出來的一種投資風險計量方法。VaR作為風險計量方法不僅具有概念簡單、易於溝通和理解的優點，而且為不同金融工具構成的複雜的投資組合提供了一個統一的、綜合性的風險測量框架圄。因此，VaR現在被廣泛應用於各金融機構，並且正在成為計量金融風險的國際標準。然而，許多實證研究表明，VaR方法具有其本身無法剋服的缺陷：其一，VaR不滿足一致性公理，這就意味著用VaR來計量風險，投資組合的風險不一定小於或等於該組合中各種資產分別計量的風險值之和，這與風險分散化的市場現象相違背；其二，VaR尾部損失測量的非充分性，它無法考察超過分位點的下方風險信息；其三，VaR應用的前提必須是股票收益率服從正態分佈，而許多實證研究表明， 目前中國的股票收益葺茜並不服從正態分佈。

　　為了剋服VaR的缺陷，Rockafeller和Uryasev在2000年提出了條件風險價值——CVaR的風險計量技術[91o CVaR是指投資組合的損失大於某個給定的VaR值的條件下，該投資組合損失的平均值。與VaR相比，CVaR滿足次可加性、正齊次性、單調性及傳遞不變性，因而CVaR是一種一致性的風險計量方法。另外。研究表明，CVaR可以通過使用線性規划算法來進行優化。CVaR以其優點正在被越來越多的機構投資者所重視。

　　(1)平移不變性，對於任意一個固定的常數c，有C_β(Y + c) = C_β(Y) + c

　　(2)正齊次性，對於任意正數c，有C_β(Y + c) = C_β(Y) + c

　　(3)單調可加性，對於任意非遞增函數f和g，若兩複合函數f·Y和g·Y有意義，則C_β(f·Y+g·Y)=C_β(f·Y)+C_β(g·Y)

　　(4)某種程度上具有關於零的對稱性，E(Y) = (1 − β)C_β(Y) − βC_{1 − β}( − Y)

　　(5)CVaR 具有次可加性：若O<λ<l，對任意兩個損失變數Y₁和Y₂有C_β(λY₁+(1- λY₂)≤λC_β(Y₁)+(1-λ )C_β(Y₂)。

　　因此無論投資組合的回報是否是正態分佈，CVaR都是一致性風險度量。此外，由上式我們可以發現CVaR是凸性的風險計量，因此，基於CVaR的投資組合優化必定存在最小風險的解，而VaR並不是一個凸性的風險計量，可能不存在最優的解。

　　1.CVAR的優點

　　一是考慮了超過VAR的尾部風險；二是屬於一致風險測度，滿足了可加性；三是不易被操縱，不易IlI現誤導投資者的信息；四是CVAR的凸性使得基於CVAR的投資組合優化更易於實施。

　　2.CVAR的缺點

　　一是不與三階及三階以上的隨機占優相一致；二是不與公司的違約概率直接相聯繫；三是不易於實施有效的事後檢驗；四是CVAR與分佈的尾部估計關係密切，閡而不能確保估計結果的穩定性。

　　CVaR更能體現潛在風險，在計算上比VaR的計算更簡便，因此其應用的前途與空間應該比VaR更大、更廣闊。同時CVaR在理論與實證研究方面都取得較大的成功，所以CVaR將會代替VaR來測量金融風險。從應用的範圍來看，歸納起來，有以下幾類:

　　(一)投資組合的優化

　　經典投資組合模型是以最小方差為基準目標的，以此構成了馬柯威茨的有效邊界，在這條有效邊界與投資者效用函數(或投資者的無差異曲線的相切點上)建立起來的投資組合是最佳的，此點的風險是用組合收益的標準差表示的，但標準差並不能告訴投資者投資組合的潛在損失到底是多大。因此，在此加入CVaR對投資組合進行約束，在均值———方差空間上表現為一條與馬柯威茨邊界相交的斜線，通過頭寸的調整來預先限定組合的潛在風險，這樣就通過對組合的優化起到規避風險的作用。

　　(二)確定內部風險資本需求和設定風險限額

　　利用CVaR可以確定金融機構在整體上為抵禦市場風險所需求的內部風險資本，併為交易員或業務部門設置風險限額，以防止過度投機行為。金融機構為防止某一交易員或業務部門的風險過度承擔，通常對交易進行限制。一種方法是通過頭寸限額來實現；另一種方法是風險限定。利用CVaR設置頭寸限額具有許多優點，CVaR限額考慮了組合的風險分散的效果，並且有助於設置層次性限額結構。

　　(三)資本配置

　　在經典的投資組合模型中以最小方差為規劃目標，用CVaR來代替方差，以最小CVaR為規劃目標，即構成最優均值———CVaR模型，這一模型的優點在於它與機構的CVaR風險測量及CVaR風險限額保持了一致性。由此可以起到優化投資頭寸，降低投資風險。在收益一定時，通過調整頭寸使CVaR最小；在CVaR一定時，通過調整頭寸使收益最大化。

　　此外，CVaR還可應用於金融監管部門對金融機構或上市公司信息披露與金融監管、信用風險的測量、套期保值功能等等。